Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD＝3厘米，AB＝a厘米(a>3)．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿B→A，B→C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)若a＝4厘米，t＝1秒，則PM＝______厘米；

(2)若a＝5厘米，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；

(3)若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2）2∶3；（3）3<a≤6．

【解析】

（1）由題意可知，t＝1秒時(shí)，BN=BM=1，又因?yàn)?/span>PM⊥BC，所以△ANB∽△APM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求得PM；（2）根據(jù)題意，當(dāng)△PNB∽△PAD時(shí)，對(duì)應(yīng)邊之比等于高之比，即進(jìn)而可以求出時(shí)間t以及相似比；（3）設(shè)BN=t，則0，則BM=t，再用t表示出PM，就可以用t表示出兩個(gè)梯形的面積，求出t的值，進(jìn)而求出a的取值范圍．

解：(1)當(dāng)t＝1時(shí)，MB＝1，NB＝1，AM＝4－1＝3，

∵PM∥BN，

∴△ANB∽△APM，

∴，

∴PM＝．

(2)作出△PNB和△PAD，則BM和AM分別是它們的高，

若△PNB∽△PAD，則，

即，解得t=2，

即t＝2時(shí)，使得△PNB∽△PAD，

∴相似比為2∶3．

(3)∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP＝∠ABC，△AMP∽△ABN，

∴，即，

∴，

∴，

當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等時(shí)，

即，

化簡得t＝，

∵t3，

∴，則a6，

∴3a6．