【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、C兩點(點A在點C的左側(cè)),與y軸交于點B,且OA=OB.
(1)求線段AC的長度;
(2)若點P在拋物線上,點P位于第二象限,過P作PQ⊥AB,垂足為Q.已知PQ=,求點P的坐標.
【答案】(1)線段AC的長是4;(2)點P的坐標為(﹣2,3)或(﹣1,4).
【解析】
(1)根據(jù)題意可以求得點B的坐標,從而可得到點A的坐標,進而求得函數(shù)解析式,再令y=0,即可得到點C的坐標,從而可以得到線段AC的長;
(2)根據(jù)點A和點B的坐標可以得到直線AB的函數(shù)解析式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì),可以求得點P的坐標,本題得以解決.
(1)∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+3的圖象與y軸交于點B,且OA=OB,
∴點B的坐標為(0,3),∴OB=OA=3,
∴點A的坐標為(﹣3,0),∴0=﹣(﹣3)2+b×(﹣3)+3,解得,b=﹣2,
∴y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+3)(x﹣1),
∴當y=0時,x1=﹣3,x2=1,
∴點C的坐標為(1,0),∴AC=1﹣(﹣3)=4,
即線段AC的長是4;
(2)∵點A(﹣3,0),點B(3,0),
∴直線AB的函數(shù)解析式為y=x+3,
過點P作PD∥y軸交直線AB于點D,
設點P的坐標為(m,﹣m2﹣2m+3),則點D的坐標為(m,m+3),
∴PD=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m,
∵PD∥y軸,∠ABO=45°,
∴∠PDQ=∠ABO=45°,
又∵PQ⊥AB,PQ=,
∴△PDQ是等腰直角三角形,
∴PD==2,∴﹣m2﹣3m=2,解得,m1=﹣1,m2=﹣2,
當m=﹣1時,﹣m2﹣2m+3=4,
當m=﹣2時,﹣m2﹣2m+3=3,
∴點P的坐標為(﹣2,3)或(﹣1,4).
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點在第一象限,且過點(0,1)和(﹣1,0),下列結論:①ab<0,②b2>4,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤當x>﹣1時,y>0.其中正確結論的個數(shù)是( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點C,與x軸交于A,B兩點,其中點B的坐標為B(4,0),拋物線的對稱軸交x軸于點D,CE∥AB,并與拋物線的對稱軸交于點E現(xiàn)有下列結論:①b2﹣4a<0;②b>0;③5a+b<0;④AD+CE=4.其中正確結論個數(shù)為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于點E.
(1)求證:△ABD≌△EBD;
(2)過點E作EF∥DA,交BD于點F,連接AF.求證:四邊形AFED是菱形.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,,角平分線交BC于O,以OB為半徑作⊙O.(1)判定直線AC是否是⊙O的切線,并說明理由;
(2)連接AO交⊙O于點E,其延長線交⊙O于點D,,求的值;
(3)在(2)的條件下,設的半徑為3,求AC的長.
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【題目】已知:二次函數(shù),當時,函數(shù)有最大值5.
(1)求此二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點;
(2)將函數(shù)圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折,得到的新圖象與直線恒有四個交點,從左到右,四個交點依次記為,當以為直徑的圓與軸相切時,求的值.
(3)若點是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點,若關于m的一元二次方程 恒有實數(shù)根時,求實數(shù)k的最大值.
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【題目】已知關于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)求證:k取任何實數(shù)值,方程總有實數(shù)根;
(2)若此方程的一個根是1,請求出方程的另一個根,并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點D,E在△ABC的邊BC上,連接AD,AE. ①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三個等式中的兩個作為命題的題設,另一個作為命題的結論,構成三個命題:(1)①②③;(2)①③②;(3)②③①.
(1)以上三個命題是真命題的為(直接答題號) ;
(2)請選擇一個真命題進行證明(先寫出所選命題,然后證明).
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