Question

如圖，已知直線l的解析式為y=-x+6，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，平行于直線l的直線n從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持n∥l，直線n與x軸、y軸分別相交于C、D兩點(diǎn)，線段CD的中點(diǎn)為P，以P為圓心，以CD為直徑在CD上方作半圓，半圓面積為S，當(dāng)直線n與直線l重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）直線n在運(yùn)動(dòng)過程中，
①當(dāng)t為何值時(shí)，半圓與直線l相切？
②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=S_梯形ABCD？若存在，求出t值．若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線l的解析式y(tǒng)=-x+6，令y=0求得A點(diǎn)坐標(biāo)，x=0求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由面積公式S=，CD=OD=t列出函數(shù)關(guān)系式，D在線段OA上運(yùn)動(dòng)，可得出t取值范圍；
（3）①當(dāng)兩直線的距離為時(shí)，半圓與直線相切，即AD=；
②由面積公式列出等量關(guān)系“=”求出t值．
解答：解：（1）∵y=-x+6，令y=0，得0=-x+6，x=6
∴A（6，0）
令x=0，得y=6
∴B=（0，6）

（2）∵OA=OB=6
∴△AOB是等腰直角三角形
∵n∥l
∴∠CDO=∠BAO=45°
∴△COD為等腰直角三角形
∴OD=OC=t
CD=
∴PD=CD=t
S=πPD²=
∴S=（0＜t≤6）

（3）
①分別過D、P作DE⊥AB于E、PF⊥AB于F
AD=OA-OD=6-t
在Rt△ADE中sin∠EAD=
DE=
∴PF=DE=
當(dāng)PF=PD時(shí)，半圓與l相切
即
t=3
當(dāng)t=3時(shí)，半圓與直線l相切．
②存在．
∵S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD=
S=
若S=S_梯形ABCD，則
（π+1）t²=36


∴存在t=，使得S=S_梯形ABCD．
點(diǎn)評(píng)：本題為復(fù)雜的一次函數(shù)綜合題，其中有坐標(biāo)的求法，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的函數(shù)關(guān)系式以及面積的求法．