【題目】車輛轉(zhuǎn)彎時,能否順利通過直角彎道的標準是:車輛是否可以行使到和路的邊界夾角是45°的位置(如圖1中②的位置),例如,圖2是某巷子的俯視圖,巷子路面寬4m,轉(zhuǎn)彎處為直角,車輛的車身為矩形ABCD,CDDE、CE的夾角都是45°時,連接EF,交CD于點G,若GF的長度至少能達到車身寬度,則車輛就能通過.

(1)試說明長8m,寬3m的消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎;

(2)為了能使長8m,寬3m的消防車通過該彎道,可以將轉(zhuǎn)彎處改為圓弧(分別是以O為圓心,以OMON為半徑的弧),具體方案如圖3,其中OMOM′,請你求出ON的最小值.

【答案】(1)消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎;(2)ON至少為4.5米.

【解析】

1)過點FFHEC于點H,根據(jù)道路的寬度求出FH=EH=4m,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EFGE的長度,相減即可得到GF的長度,如果不小于車身寬度,則消防車能通過,否則,不能通過;
2)假設(shè)車身C、D分別與點M′M重合,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OG=CD=4OC=CG=4,然后求出OF的長度,從而求出可以通過的車寬FG的長度,如果不小于車寬,則消防車能夠通過,否則,不能通過;設(shè)ON=x,表示出OC=x+4,OG=x+3,又OG=CD=4,在RtOCG中,利用勾股定理列式進行計算即可求出ON的最小值.

解:(1)消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎.

理由如下:如圖,作FHEC,垂足為H,

FH=EH=4,

EF=4,且∠GEC=45°

GC=4,

GE=GC=4

GF=443,

GF的長度未達到車身寬度,

∴消防車不能通過該直角轉(zhuǎn)彎.

(2)C、D分別與M′、M重合,則OGM為等腰直角三角形,

OG=4,OM=4

OF=ON=OMMN=44,

FG=OGOF=×8(44)=843,

C、D上,

設(shè)ON=x,連接OC,在RtOCG中,

OG=x+3,OC=x+4,CG=4

由勾股定理得,OG2+CG2=OC2,

(x+3)2+42=(x+4)2,

解得x=4.5

答:ON至少為4.5米.

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