Question

8．觀(guān)察下列等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）按照一定規(guī)律排列式子：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…，其中第n項(xiàng)（n為正整數(shù)）的形式為$\frac{1}{n（n+1）}$，按照材料中的寫(xiě)法，該項(xiàng)可表示為$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）直接寫(xiě)出下式：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2009×2010}$的計(jì)算結(jié)果為$\frac{2009}{2010}$．
（3）探究并計(jì)算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+…+$\frac{1}{2n×2（n+1）}$（其中n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出第n項(xiàng)，表示出變形結(jié)果即可；
（2）原式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）原式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）第n項(xiàng)為$\frac{1}{n（n+1）}$，可表示為$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；   
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…=$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$=1-$\frac{1}{2010}$=$\frac{2009}{2010}$；   
（3）原式=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]=$\frac{n}{4（n+1）}$．
故答案為：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$，$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；（2）$\frac{2009}{2010}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．