如圖，AB是⊙O的直徑，AB=d，過A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，使AC=AB，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于E．
（1）求證：CD=AE；
（2）求AE的長．
考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),解一元二次方程-公式法,圓周角定理
專題：計(jì)算題,證明題
分析：易證△CDE∽△CAD進(jìn)而求證
CD
AC
=
AE
AB
，再根據(jù)AB=AC，可得AE=CD；
（2）由△CDE∽△CAD可得
CD
CA
=
CE
CD
，設(shè)AE=x，則CE=d-x，于是x2=d（d-x），解x的值即可解題．
解答：（1）證明：如圖，連接AD，
∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，
∵∠ADO+∠ODB=90°，∠B+∠OAD=90°，
∴∠OAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，
∴CAD=∠ODB=∠EDC，又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴
CD
AC
=
DE
AD
①
又∵△ADE∽△BDA
∴
DE
AD
=
AE
AB
②
由①、②得
CD
AC
=
AE
AB

又∵AB=AC，可得AE=CD

（2）解：又由△CDE∽△CAD可得
CD
CA
=
CE
CD
，
即AE2=CD2=CE×CA
設(shè)AE=x，則CE=d-x，于是x2=d（d-x）
即有AE=x=
5
-1
2
d（負(fù)值已舍去）
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的證明，考查了相似三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了一元二次方程的求解，本題中求△CDE∽△CAD是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下表記錄了某次釣魚比賽中，釣到n條魚的選手?jǐn)?shù)：
n 0 1 2 3 … 13 14 15
釣到n條魚的人數(shù) 9 5 7 23 … 5 2 1
已知：（1）冠軍釣到了15條魚；
（2）釣到3條或更多條魚的所有選手平均釣到6條魚；
（3）釣到12條或更少魚的所有選手平均釣到5條魚；
則參加釣魚比賽的所有選手共釣到
 
條魚．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為線段AB上的點(diǎn)，且滿足AE=AD，BE=BC，過E作EF∥BC交CD于F，設(shè)P為線段CD上任意一點(diǎn)，試說明|
PD
AD
-
PC
BC
|=
2PF
EF
的理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三角形ABC的BC邊上取點(diǎn)A′，CA邊上取點(diǎn)B′，AB邊上取點(diǎn)C′．己知∠AC′B′=∠B′A′C，∠CB′A′=∠A′C′B，∠BA′C′=∠C′B′A，求證：A′、B′和C′分別為三邊之中點(diǎn)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將長為12，寬為5的矩形紙片沿對角線對折后放在桌面上，那么它覆蓋的桌面的面積等于
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用10根長度相同的木棍拼成一個三角形（不剩余木棍也不折斷木棍），則只能拼成（　　）
A、直角三角形
B、等腰三角形
C、等腰直角三角形
D、等邊三角形

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將等腰三角形紙片ABC的底邊BC折起，使點(diǎn)C落在腰上，這時紙片的不重合部分也是等腰三角形，則∠A=
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列一組數(shù)：0、3、8、15、24、35、
 
…，依據(jù)你的觀察，第n個數(shù)為n2-1，
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Figure 1）In the parallelogram ABCD，AD=2AB，a point M is mid-point of segment AD，CE⊥AB，if∠CEM=40°，then the value of∠DME is（　　）
A、150°B、140°
C、135°D、130°

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同步練習(xí)冊答案