Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)，是圖形W上的任意兩點(diǎn)．

定義圖形W的測(cè)度面積：若的最大值為m，的最大值為n，則 為圖形W的測(cè)度面積．

例如，若圖形W是半徑為1的⊙O．當(dāng)P，Q分別是⊙O與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖1， 取得最大值，且最大值m=2；當(dāng)P，Q分別是⊙O與y軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，取得最大值，且最大值n=2．則圖形W的測(cè)度面積．

（1）若圖形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．

①如圖3，當(dāng)點(diǎn)A，B在坐標(biāo)軸上時(shí)，它的測(cè)度面積S= ；

②如圖4，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，它的測(cè)度面積S= ；

（2）若圖形W是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，則此圖形測(cè)度面積S的最大值為 ；

（3）若圖形W是一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3和4的矩形ABCD，求它的測(cè)度面積S的取值范圍．

Answer 1

（1）①1；②1；（2）2；（3）．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)給出的定義可以求出來(lái)；

②根據(jù)給出的定義可以求出來(lái)；

（2）根據(jù)定義可以求出測(cè)度面積的最大值為2；

（3）因?yàn)槠揭茍D形W不會(huì)改變其測(cè)度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個(gè)頂點(diǎn)B平移至x軸上，注意分三種情況討論，

試題解析：（1）① 1；

② 1．

（2） 2．

（3）不妨設(shè)矩形ABCD的邊AB=4，BC=3．由已知可得，平移圖形W不會(huì)改變其測(cè)度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個(gè)頂點(diǎn)B平移至x軸上．

當(dāng)頂點(diǎn)A，B或B，C都在x軸上時(shí)，如圖5和圖6，矩形ABCD的測(cè)度面積S就是矩形ABCD的面積，此時(shí)S取得最小值，且最小值為12．

當(dāng)頂點(diǎn)A，C都不在x軸上時(shí)，如圖7．

過(guò)A作直線AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)C作直線CF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)D作直線GH∥x軸，與直線AE，CF分別交于點(diǎn)H和點(diǎn)G，則可得四邊形EFGH是矩形．

當(dāng)點(diǎn)P，Q分別與點(diǎn)A，C重合時(shí)，取得最大值，且最大值；

當(dāng)點(diǎn)P，Q分別與點(diǎn)B，D重合時(shí)，取得最大值，且最大值．

∴圖形W的測(cè)度面積．

∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∵∠AEB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF．

又∵，∴△ABE∽△BCF，∴．

設(shè)，則，

在Rt△ABE中，由勾股定理得．

∴．即．∵，∴，易證△ABE≌△CDG．∴．∴，．

∴

∴當(dāng)，即時(shí)，測(cè)度面積S取得最大值．

∵，∴．∴．

∴當(dāng)頂點(diǎn)A，C都不在x軸上時(shí)，S的范圍為．

綜上所述，測(cè)度面積S的取值范圍是．

考點(diǎn)：1．新定義；2．勾股定理．