Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點為原點，直線y=x+4的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點（8，8），直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．
（1）求B點的坐標與這個二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P點作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點，與x軸交于點E．設(shè)該線段PD的長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在線段AB上是否存在點P，使得以點P、D、B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點為原點，得出二次函數(shù)的一般解析式y(tǒng)=ax²，將（8，8）代入即可；
（2）直接表示出PE與DE的長度從而得出PD的長，即可得出解析式；
（3）分別為當∠PDB=∠BOC=90°時與當∠PDB=∠BOC=90°時，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可．
解答：解：（1）令x=0，代入，
∴y=4，
∴B（0，4）．
設(shè)y=ax²，把（8，8）代入得：8²•a=8，
∴，
∴，

（2）∵點P的橫坐標為t，
∴．
∴，
∴；


（3）存在，
①當∠PDB=∠BOC=90°時，
∴BD∥CE，
∴∠PBD=∠BCO．
∴△PDB∽△BOC，
∴．
令y=x=4=0，得x=-8，
∴C（-8，0），
∴CO=8．
∴．
化簡得：t²=32．
解得：（不合題意，舍去）．
把代入，
得．
∴點P的坐標為．
②當∠PBD=∠BOC=90°時，
∵PD∥BO，∴∠DPB=∠CBO．
∴△PBD∽△BOC．
過點D作DF⊥OB，
∵∠DPB+∠PDB=90°，∠BDF+∠PDB=90°，
∴∠BDF=∠DPB=∠CBO．
∵∠BFD=∠COB，
△DFB∽△BOC，
∵，
∴，
∴．
化簡得：t²+16t-32=0．
解得：（不合題意，舍去）
把代入，
得：，
∴P點的坐標為，
∴當P點的坐標為或時
以點P．D．B為頂點的三角形與△BOC相似．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定等知識，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．