【題目】如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)OABAC,AB3cm,BC5cm.點(diǎn)PA點(diǎn)出發(fā)沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s.連結(jié)PO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0t5)

(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ABQP是平行四邊形?

(2)設(shè)四邊形OQCD的面積為y(cm2),求yt之間的函數(shù)關(guān)系式;

(3)是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

  備用圖

【答案】1)當(dāng)t時(shí),四邊形ABQP是平行四邊形(2yt33)存在,當(dāng)t時(shí),點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上

【解析】

1)根據(jù)ASA證明△APO≌△CQO,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出APCQt,則BQ5t,再根據(jù)平行四邊形的判定定理可知當(dāng)APBQAPBQ時(shí),四邊形ABQP是平行四邊形,即t5t,求出t的值即可求解;

2)過(guò)AAHBC于點(diǎn)H,過(guò)OOGBC于點(diǎn)G,根據(jù)勾股定理求出AC4,由RtABC的面積計(jì)算可求得AH,利用三角形中位線定理可得OG=,再根據(jù)四邊形OQCD的面積y= SOCDSOCQOC·CDCQ·OG,代入數(shù)值計(jì)算即可得yt之間的函數(shù)關(guān)系式;

3)如圖2,若OEAP的垂直平分線,可得AEAP,∠AEO90°,根據(jù)勾股定理可得AE2OE2AO2,由(2)知:AO2,OE,列出關(guān)于t的方程,解方程即可求出t的值.

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

OAOC,ADBC

∴∠PAO=∠QCO.

又∵∠AOP=∠COQ,

∴△APO≌△CQO,

APCQt.

BC5,

BQ5t.

APBQ,

當(dāng)APBQ時(shí),四邊形ABQP是平行四邊形,

t5t,∴t,

∴當(dāng)t時(shí),四邊形ABQP是平行四邊形;

(2) 1

如圖1,過(guò)AAHBC于點(diǎn)H,過(guò)OOGBC于點(diǎn)G.

RtABC中,∵AB3,BC5,∴AC4,

COAC2

SABCAB·ACBC·AH,

3×45AH,

AH.

AHOG,OAOC,

GHCG,

OGAH,

ySOCDSOCQOC·CDCQ·OG,

y×2×3×t×t3

 2

(3)存在.

如圖2,∵OEAP的垂直平分線,

AEAP,∠AEO90°

(2)知:AO2,OE

由勾股定理得:AE2OE2AO2,

(t)2()222,

t或- (舍去),

∴當(dāng)t時(shí),點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上.

故答案為:(1)當(dāng)t時(shí),四邊形ABQP是平行四邊形(2yt33)存在,當(dāng)t時(shí),點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上.

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捐款(元)

20

40

50

100

人數(shù)

10

8

表格中捐款 40 元和 50 元的人數(shù)不小心被墨水污染已看不清楚、若設(shè)捐款 40 元的有 x 名同學(xué),捐款 50 元的有y 名同學(xué),根據(jù)題意,可得方程組(

A.B.

C.D.

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連接接BE,取BE中點(diǎn)F,連接AF、DF.

1)如圖1,若三點(diǎn)共線, 中點(diǎn).

①直接指出的關(guān)系______________

②直接指出的長(zhǎng)度______________;

2)將圖(1)中的CDE點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖2, ),試確定的關(guān)系,并說(shuō)明理由;

3)在(2)中,若,請(qǐng)直接指出點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng).

1 2

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A.1B.2C.3D.4

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