Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？

（3）在（2）的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點E的坐標是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3；（3）P的坐標是（﹣3， ）、（5， ）、（﹣1， ）．

【解析】試題分析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，∴點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0），∵拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，∴，解得，∴y=﹣x2+x+3．

（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，

，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，∴設點E的坐標是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，∴當x=2時，即點E的坐標是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．

（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．

①如圖2，

，

由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則，解得或，∵x＜0，∴點P的坐標是（﹣3，﹣）．

②如圖3，

，

由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則，解得或，∵x＞0，∴點P的坐標是（5，﹣）．

③如圖4，

，

由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==，∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則解得，∴點P的坐標是（﹣1，）．綜上，可得在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．