【題目】如圖,直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,點E是直線BC上方拋物線上的一動點,當△BEC面積最大時,請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值?
(3)在(2)的結論下,過點E作y軸的平行線交直線BC于點M,連接AM,點Q是拋物線對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,請直接寫出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)點E的坐標是(2,3)時,△BEC的面積最大,最大面積是3;(3)P的坐標是(﹣3, )、(5, )、(﹣1, ).
【解析】試題分析:(1)∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C,與y軸交于點B,∴點B的坐標是(0,3),點C的坐標是(4,0),∵拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點,∴,解得,∴y=﹣x2+x+3.
(2)如圖1,過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M,EF交x軸于點F,
,
∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點,∴設點E的坐標是(x,﹣x2+x+3),則點M的坐標是(x,﹣x+3),∴EM=﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+x,∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×(﹣x2+x)×4=﹣x2+3x=﹣(x﹣2)2+3,∴當x=2時,即點E的坐標是(2,3)時,△BEC的面積最大,最大面積是3.
(3)在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形.
①如圖2,
,
由(2),可得點M的橫坐標是2,∵點M在直線y=﹣x+3上,∴點M的坐標是(2,),又∵點A的坐標是(﹣2,0),∴AM==,∴AM所在的直線的斜率是:;∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,∴設點Q的坐標是(1,m),點P的坐標是(x,﹣x2+x+3),則,解得或,∵x<0,∴點P的坐標是(﹣3,﹣).
②如圖3,
,
由(2),可得點M的橫坐標是2,∵點M在直線y=﹣x+3上,∴點M的坐標是(2,),又∵點A的坐標是(﹣2,0),∴AM==,∴AM所在的直線的斜率是:;∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,∴設點Q的坐標是(1,m),點P的坐標是(x,﹣x2+x+3),則,解得或,∵x>0,∴點P的坐標是(5,﹣).
③如圖4,
,
由(2),可得點M的橫坐標是2,∵點M在直線y=﹣x+3上,∴點M的坐標是(2,),又∵點A的坐標是(﹣2,0),∴AM==,∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1,∴設點Q的坐標是(1,m),點P的坐標是(x,﹣x2+x+3),則解得,∴點P的坐標是(﹣1,).綜上,可得在拋物線上存在點P,使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形,點P的坐標是(﹣3,﹣)、(5,﹣)、(﹣1,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】請閱讀下列材料:問題:現(xiàn)有5個邊長為1的正方形,排列形式如圖甲,請把它們分割后拼接成一個新的正方形.要求:畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖(圖中的每一個小正方形的邊長均為1)中用實線畫出拼接成的新正方形.
小東同學的做法是:設新正方形的邊長為x(x>0),依題意,割補前后圖形的面積相等,有x2=5,解得x= 由此可知新正方形的邊長等于兩個小正方形組成的矩形對角線的長.于是,畫出如圖乙所示的分割線,拼出如圖丙所示的新的正方形.
請你參考小東同學的做法,解決如下問題:
現(xiàn)有10個邊長為1的小正方形,排列形式如圖丁,請把它們分割后拼接成一個新的正方形.要求:在圖丁中畫出分割線,并在圖戊的正方形網(wǎng)格圖(圖中的每一個小正方形的邊長均為1)中用實線畫出拼接成的新正方形.
說明:直接畫出圖形,不要求寫分析過程.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(l)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.
(2)性質探宄:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關系.
猜想結論:(要求用文字語言敘述)
寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證)
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,命題p:“B≠60°“,命題q:“△ABC的三個內角A,B,C不成等差數(shù)列“,那么p是q的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,銳角△ABC中,分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD,連接BD,CE,試猜想BD與CE的大小關系,并說明理由.
【深入探究】
(2)如圖2,△ABC中,∠ABC=45°,AB=5cm,BC=3cm,分別以AB、AC為邊向外作正方形ABNE和正方形ACMD,連接BD,求BD的長.
(3)如圖3,在(2)的條件下,以AC為直角邊在線段AC的左側作等腰直角△ACD,求BD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,并且AF=CE.
(1)求證:四邊形ACEF是平行四邊形;
(2)當∠B滿足什么條件時,四邊形ACEF是菱形?請回答并證明你的結論.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,延長平行四邊形ABCD的邊DC到點E,使CE=DC,連接AE,交BC于點F,連接AC、BE.
(1)求證:BF=CF;
(2)若AB=2,AD=4,且∠AFC=2∠D,求平行四邊形ABCD的面積.
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