Question

17．在正方形ABCD中，點E為射線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE交射線BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）如圖1，當點E在線段AC上時，求證：CG=AC-CE；
（2）如圖2，當點E在線段AC的延長線上時，正方形ABCD的邊長為3，CE=$\sqrt{2}$，求GE的長．

Answer 1

分析 （1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD和△ADE≌△CDG，進而得到結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）方法得到CG=AC+CE，求出CG的長度，最后利用勾股定理求出GE的長．

解答 （1）證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q．
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形，
∴DE=DG，∠EDG=90°，
∵∠ADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
∵AD=DC，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG．
∴CG=AC-CE；
（2）仿照（1）可證得CG=AC+CE，
∵AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CG=AC+CE=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
∵△ADE≌△CDG，
∴∠DCG=∠DAE=45°，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°，
在Rt△GCE中，
GE=$\sqrt{C{G}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{34}$．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，證明三角形全等，此題難度不大．