Question

18．綜合與實(shí)踐：制作禮品盒
如圖（1），小穎將邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片ABCD，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，如圖（2），點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)重合于點(diǎn)P，做成一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體形狀的禮品盒．設(shè)禮品盒的側(cè)面積為Scm²，AE=FB=xcm．

（1）求S與x之間的關(guān)系式及S的最大值；
（2）小穎有一底面半徑為15cm，高為15cm的圓柱體形狀的禮品，該禮品能否底面朝下放入她做成的禮品盒？若能，求出x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件可以分別表示出陰影部分的面積，掀起的四個(gè)角上的四個(gè)等腰直角三角形的面積之和及底部正方形的面積就可以表示出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；將解析式化為頂點(diǎn)式就可以求出S的最大值；
（2）設(shè)包裝盒的底面正方形的邊長(zhǎng)為a，高為h，就可以得出AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，EF=60-2AE=60-$\sqrt{2}$a，h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=30$\sqrt{2}$-a，再三種情況討論就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AE=FB=xcm，
∴EF的長(zhǎng)為（60-2x）cm．
圖中陰影部分拼在一起是邊長(zhǎng)為EF的正方形，其面積為：（60-2x）²cm²，
掀起的四個(gè)角上的四個(gè)等腰直角三角形的面積之和為：2x²cm²；
盒底正方形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$x，其面積為2x²；
∴S=60²-（60-2x）²-4x²=240x-8x²
∴S=-8（x²-30x）=-8（x-15）²+1800（0＜x＜30），
∵a=-8＜0．
∴拋物線的開口向下，S有最大值．
∴x=15cm時(shí)，側(cè)面積最大為1800cm²，
答：若包裝盒側(cè)面積S_最大=1800cm²最大，x應(yīng)取15cm．

（2）包裝盒的底面正方形的邊長(zhǎng)為a，高為h，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴EF=60-2AE=60-$\sqrt{2}$a，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=30$\sqrt{2}$-a，
∴包裝盒的高h(yuǎn)隨底面邊長(zhǎng)的增大而減�。�
圓柱的底面朝下放入，此時(shí)包裝盒高h(yuǎn)不能小于15．
∵圓柱的底面半徑為15cm，
∴盒底邊長(zhǎng)最小取30cm（放入如①圖），
∴h=30$\sqrt{2}$-a=30（$\sqrt{2}$-1）＜15，故不能放下．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理的運(yùn)用，矩形的面積的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)分類討論是難點(diǎn)．