Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l∥y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O-C-A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法直接得出即可，再利用直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法將兩直線解析式聯(lián)立即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①利用S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，表示出各部分的邊長(zhǎng)，整理出一元二次方程，求出即可；
②根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出，∠OBN=∠ONB=45°，進(jìn)而利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定求出即可．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．
∴，
解得：，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，4）；
∵y=-x+7=0，
解得：x=7，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（7，0）．

（2）①當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4時(shí)，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵當(dāng)以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，
∴S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t²-8t+12=0，
解得：t₁=2，t₂=6（舍去），
當(dāng)4≤t＜7時(shí)，S_△APR=AP×OC=2（7-t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；
綜上所述，當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8；

②存在．延長(zhǎng)CA到直線l于一點(diǎn)D，當(dāng)l與AB相交于Q，
∵一次函數(shù)y=-x+7與x軸交于（7，0）點(diǎn)，與y軸交于（0，7）點(diǎn)，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直線l∥y軸，
∴RQ=RB，CD⊥L，
當(dāng)0≤t＜4時(shí)，如圖1，
RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4-t），AC=3，PC=4-t，
∵以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則AP=AQ，
∴AC²+PC²=AP²=AQ²=2AD²，
∴9+（4-t）²=2（4-t）²，解得：t₁=1，t₂=7（舍去），
當(dāng)AP=PQ時(shí) 3²+（4-t）²=（7-t）²，
解得t=4 （舍去）
 當(dāng)PQ=AQ時(shí)，2（4-t）²=（7-t）²，
解得t₁=1+3（舍去），t₂=1-3（舍去）
當(dāng)4≤t＜7時(shí)，如圖（備用圖），過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4，
設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t，
由cos∠OAC==，
得AQ=（t-4），
若AQ=AP，則（t-4）=7-t，解得t=，
當(dāng)AQ=PQ時(shí)，AE=PE，即AE=AP，
得t-4=（7-t），
解得：t=5，
當(dāng)AP=PQ時(shí)，過P作PF⊥AQ，于F，
AF=AQ=×（t-4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF==，
得AF=AP，
即×（t-4）=（7-t），
解得：t=，
綜上所述，當(dāng)t=1、5、、秒時(shí)，存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法以及三角形面積求法和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性較強(qiáng)，利用函數(shù)圖象表示出各部分長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．