Question

7、如圖，已知六邊形ABCDEF的各個內角等于120度，AB+AF=5，AF+FE=6，AB=CD．則六邊形ABCDEF的周長為

17

．

Answer 1

分析：凸六邊形ABCDEF，并不是一規(guī)則的六邊形，但六個角都是120°，所以通過適當?shù)南蛲庾餮娱L線，可得到等邊三角形，進而求解．

解答：解：
∵六分別作直線AB、CD、EF的延長線使它們交于點G、H、N．
因為六邊形ABCDEF的六個角都是120°，
所以六邊形ABCDEF的每一個外角的度數(shù)都是60°．
即∠HAF=∠HFA=60°，∠NDE=∠NED=60°，
根據三角形的內角和為180°，得到：∠H=∠N=∠G=60°，
所以△AHF、△BGC、△DNE、△GHN都是等邊三角形．
∵AB=CD，BG=GC，GH=GN，
∴AH=DN，
又∵AH=AF，DN=DE，
∴AF=DE，
∵EN=DN，HN=GN，
∴HE=GD，即AF+FE=DC+CG=6，
所以GC=BC=8cm，DH=DE=6cm．
∴AB+AF=CD+DE=5，AF+FE=CD+BC=6，
∴六邊形ABCDEF的周長為（AB+AF）+（AF+FE）+（ED+CD）+（DC+BC）-（AF+CD），
∵AB=CD，
∴AF+CD=AF+AB，
∴六邊形ABCDEF的周長為5+6+6+5-5=17．
故答案為：17．

點評：本題考查了等邊三角形的性質及判定定理；解題中巧妙地構造了等邊三角形，從而求得周長是非常完美的解題方法，注意學習并掌握．