【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3交x軸于A(﹣1,0)和B(5,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D是線(xiàn)段OB上一動(dòng)點(diǎn),連接CD,將線(xiàn)段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段DE,過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)l⊥x軸于H,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于F.

(1)求拋物線(xiàn)解析式;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線(xiàn)上時(shí)(與點(diǎn)M重合)

①求點(diǎn)F的坐標(biāo);

②求線(xiàn)段OD的長(zhǎng);

③試探究在直線(xiàn)l上,是否存在點(diǎn)G,使∠EDG=45°?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,連接CM,若△COD∽△CFM,請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段OD的長(zhǎng).

【答案】(1)y=;(2)①(4,3);②1;

③存在,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4,6)或(4,﹣).理由見(jiàn)解析;(3)

【解析】分析:(1)先求得點(diǎn)C的坐標(biāo),設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x+1)(x﹣5),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a的值即可;(2)由題意可知CFx軸,則點(diǎn)F縱坐標(biāo)為3,將y=3代入拋物線(xiàn)的解析式可求得點(diǎn)F的橫坐標(biāo);先證明RtOCDRtHDE,從而得到CO=DH=3,然后由OH=4,可得到OD=1;將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CN,則N(3,4)且四邊形CDEN為正方形,然后可求得點(diǎn)N的坐標(biāo),接下來(lái)求得DG的解析式,然后可求得點(diǎn)G的坐標(biāo),由DGDG′以及點(diǎn)D的坐標(biāo)可求得DG′的解析式,然后可求得點(diǎn)G′的坐標(biāo);(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)(a+3,﹣ a2a+),然后可求得FM的長(zhǎng),然后由COD∽△CFM,可得到,最后依據(jù)上述比例關(guān)系列出關(guān)于a的方程求解即可.

本題解析;

(1)把x=0代入拋物線(xiàn)的解析式得:y=3,∴C(0,3).

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x+1)(x﹣5),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:﹣5a=3,解得:a=﹣

拋物線(xiàn)的解析式為y=

(2)①∵CF⊥l,OB⊥l,

∴CF∥x軸.

點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3.

將y=3代入拋物線(xiàn)的解析式得:﹣x2+x+3=3,解得x=0或x=4.

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,3).

②∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,3),

點(diǎn)H的坐標(biāo)為(4,0).

∵∠CDE=90°,

∴∠CDO+∠EDH=90°.

∵∠OCD+∠CDO=90°,

∴∠OCD=∠EDH.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:CD=DE.

在RtOCD和RtHDE中,

∴Rt△OCD≌Rt△HDE.

∴CO=DH=3.

∵OH=4,

∴OD=1.

如圖1所示:將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CN,則N(3,4)且四邊形CDEN為正方形.

四邊形CDEN為正方形,

∴∠GDE=45°.

設(shè)DN的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)D和點(diǎn)N的坐標(biāo)代入得: ,解得:k=2,b=﹣2.

DN的解析式為y=2x﹣2.

把x=4代入得:y=6,

∴G(4,6).

設(shè)直線(xiàn)DG′的解析式為y=﹣x+c,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得:﹣ +c=0,解得:c=

直線(xiàn)DG′的解析式為y=﹣x+

將x=4代入得:y=﹣

點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(4,﹣).

綜上所述,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4,6)或(4,﹣).

(3)如圖2所示:

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)(a+3,﹣ a2a+).

FM=﹣a2a+

∵△COD∽△CFM,

,即,

整理得:14a2+33a﹣27=0,解得a=或a=﹣3(舍去).

OD=

如圖3所示:

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)(a+3,﹣ a2a+).

FM=a2+a﹣

∵△COD∽△CFM,

, ,整理得:4a2+3a﹣27=9,解得:a=﹣3(舍去)或a=

OD=

綜上所述,OD的長(zhǎng)為.

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(1)求AE和BE的長(zhǎng);

(2)若將△ABF沿著射線(xiàn)BD方向平移,平移中的△ABF為△A1B1F1設(shè)平移的距離為m(平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過(guò)的線(xiàn)段長(zhǎng)度).

①當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線(xiàn)段AB上時(shí),求出m的值

②當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線(xiàn)段AD上時(shí),當(dāng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的m的值.

(3)如圖②,將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,設(shè)A′F′所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)AE交于點(diǎn)O,當(dāng)∠A′BD=∠FAB時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出OB的長(zhǎng).

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