如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,6),B(2,4),C(4,6),D(2,8).動(dòng)點(diǎn)M在正方形ABCD的邊上,從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒
2
個(gè)長度單位,同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以每秒精英家教網(wǎng)1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)P(1,0)出發(fā)沿x軸向終點(diǎn)Q(7,0)勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求線段AB的解析式,并指出x的取值范圍;
(2)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c的解析式;
(3)當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OMN的面積為S,試求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍,并指出當(dāng)t為何值時(shí),S有最大值.
(4)兩動(dòng)點(diǎn)M、N在運(yùn)動(dòng)過程中,OM與MN能否相等?若能,直接寫出(不要解答過程)所有符合條件的t的值;若不能,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)可用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,那么線段AB的解析式就是直線AB在(0≤x≤2)之間的函數(shù)解析式.
(2)已知了A、B、C的坐標(biāo),即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)在三角形OMN中,ON=1+t,關(guān)鍵是求出ON邊上的高,可過M作MF⊥y軸于F,由于△AFM和AEB都是等腰直角三角形,因此AF=FM=t,可求出OF=6-t,根據(jù)三角形的面積公式即可求出S,t的函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值.
(4)本題分四種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),②當(dāng)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),③M在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),④M在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí).
以①③兩種情況為例進(jìn)行說明:精英家教網(wǎng)

①當(dāng)M在AB上時(shí),易知△AFM為等腰直角三角形,因此MF=t,若OM=MN,那么必有MF=
1
2
ON,即t=
1
2
(1+t),t=1;
③當(dāng)M在CD上時(shí),如圖,易知△CRM為等腰直角三角形,CM=
2
t-4
2
,因此CR=t-4,那么FM=CH-CR=8-t,由①知:FM=
1
2
ON,即8-t=
1
2
(1+t),解得t=5.
其他的兩種情況解法與①③完全相同.
解答:解:
(1)設(shè)線段AB的解析式為y=kx+b(0≤x≤2),
由題意得
b=6
2k+b=4

解之,得
k=-1
b=6
,
∴線段AB的解析式為y=x+6(0≤x≤2)
(2)由題意得
c=6
4a+2b+c=4
16a+4b+c=6
,
解之得
a=
1
2
b=-2
c=6

∴所求解析式為y=
1
2
x2-2x+6
(3)當(dāng)M在邊AB上時(shí),0≤t≤2,AM=
2
t,ON=1+t,分別過點(diǎn)B、M作y軸垂線,垂足分別為E、F,
如圖所示
,則OE=4,BE=2,AD=OA-OE=6-4=2
∴△ABE為等腰直角三角形,
∴△AFM也為等腰直角三角形,AF=FM=t,OF=OA-AF=6-t,精英家教網(wǎng)
∴S=
1
2
ON•OF=
1
2
(1+t)(6-t)=-
1
2
t2+
5
2
t+3
∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=-
1
2
t2+
5
2
t+3(0≤t≤2),
當(dāng)0≤t≤2時(shí),S隨著t的增大而增大;
所以當(dāng)t=2時(shí),S有最大值.
(4)能.當(dāng)t=1或5時(shí),OM與MN相等.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定以及二次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).綜合性較強(qiáng),要注意(4)要分類討論不要漏解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),BO=5,精英家教網(wǎng)sin∠BOA=
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求:(1)點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)cos∠BAO的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•大豐市一模)如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)y=
mx
(x>0,m是常數(shù))
的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連接AD、DC、CB.
(1)若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:DC∥AB;
(3)四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請(qǐng)求出四邊形ABCD為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連結(jié)AD、DC、CB.

1.若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo)

2.求證:DC∥AB

3.四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請(qǐng)求出四邊形ABCD 為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請(qǐng)說明理由.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連結(jié)AD、DC、CB.

【小題1】若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo)
【小題2】求證:DC∥AB
【小題3】四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請(qǐng)求出四邊形ABCD 為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年江蘇省鹽城市大豐市中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

如圖所示,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b),其中a>1.過點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連接AD、DC、CB.
(1)若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:DC∥AB;
(3)四邊形ABCD能否為菱形?如果能,請(qǐng)求出四邊形ABCD為菱形時(shí),直線AB的函數(shù)解析式;如果不能,請(qǐng)說明理由.

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