Question

【題目】已知：如圖,PA、PB是⊙O的切線;A、B是切點;連結OA、OB、OP.

①若∠COP=∠DOP，求證：AC=BD；

②連結CD，設△PCD的周長為l，若l=2AP，判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】①詳見解析；②直線CD與⊙O相切，理由詳見解析.

【解析】

①由（1）知△PAO≌△PBO，得到∠POB=∠POA；再利用AAS判定△AOC≌△BOD，從而得到AC=BD；
②本題要充分利用l=2AP的條件．延長射線PA到F，使AF=BD；易證得△OAF≌△OBD（SAS），得OF=OD；由于l=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；
在△OCF和△OCD中，OF=OD，OC=OC，FC=CD；可證得△OCF≌△OCD，那么兩三角形的對應邊上的高也相等，則過O作OE⊥CD，則OE=OA，由此可證得CD與⊙O相切．

①∵∠COP=∠DOP，∠CPO=∠DPO，PO=PO, ∴△OCP≌△ODP,∴CP=DP.

又可證△OPA≌OPB得PA=PB, ∴AC=BD.

②作OE⊥CD于E，設OE=d，CE=x，DE=y. 則d2=AC2+AO2-x2=BD2+OA2-y2.

∴(AC+x)(AC-x)- (BD+y)(BD-y)=0, ∵l=2AP=2BP，∴x+y=AC+BD, ∴AC-x=y-BD.

∴(AC+x)(y-BD)- (BD+y)(BD-y)=0, ∴(y-BD) (AC+x+BD+y)=0.

∵AC+x+BD+y≠0，∴y=BD, 即d=AO，∴直線CD與⊙O相切.