Question

14．如圖1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E為CD中點(diǎn)．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B-C的方向在矩形邊上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s．（圖2為備用圖）
（1）當(dāng)P在AB上，t為何值時(shí)，△APE的面積是矩形ABCD面積的$\frac{1}{3}$？
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，△APE為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的$\frac{1}{3}$，根據(jù)題意得：△APE的面積=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$t×4，從而求得t值；
（2）第一種情況，當(dāng)P在AE垂直平分線上時(shí)，AP=EP；第二種情況，P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B上時(shí)APE為等腰三角形，此時(shí)AE=EP，t=6；第三種情況，P在AB上，AP=PE；解答即可．

解答 解：（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的$\frac{1}{3}$，
根據(jù)題意得：AP=t，
∴△APE的面積=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$t×4=$\frac{4×6}{3}$，
解得：t=4，
∴4秒后，△APE的面積為長方形面積的$\frac{1}{3}$；

（2）①當(dāng)P在AE垂直平分線上時(shí)，AP=EP，
過P作PQ⊥AE于Q，∵AD=4，DE=3，
∴AE=5，
∴AQ=2.5，
由△AQP∽△EDA，得：$\frac{AP}{AE}=\frac{AP}{5}$，
即：$\frac{AP}{5}=\frac{2.5}{3}$，
解得：AP=$\frac{25}{6}$，
∴t=$\frac{25}{6}$；
．
②當(dāng)EA=EB時(shí)，AP=6，
∴t=6，
③當(dāng)AE=AP時(shí)，
∴t=5．
∴當(dāng)t=$\frac{25}{6}$、5、6時(shí)，△APE是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了四邊形的綜合知識(shí)和動(dòng)點(diǎn)問題，動(dòng)點(diǎn)問題更是中考中的熱點(diǎn)考題，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是能夠化動(dòng)為靜，利用等腰三角形的性質(zhì)求解．