Question

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，現(xiàn)取一塊等腰直角三角板，將45°角的頂點(diǎn)放在斜邊BC的中點(diǎn)O處，三角板的直角邊與線段AB、AC分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，設(shè)BE=x，CF=y，∠BOE=α（45°≤α≤90°）．
（1）試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍．
（2）試判斷∠BEO與∠OEF的大小關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（3）在三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△OEF能否成為等腰三角形？若能，求出對(duì)應(yīng)x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠EOC=∠B+∠BEO，又∠B=∠EOF=45°，從而得到∠BEO=∠FOC，然后證明△BEO與△COF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，再根據(jù)勾股定理及點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，求出OB、OC的長(zhǎng)度，整理即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，轉(zhuǎn)化出

BE

OB

=

OE

OF

，再根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似證明△BEO與△OEF相似，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證明；
（3）因?yàn)榈妊�三角形的腰沒(méi)有明確，所以分①當(dāng)EO=EF時(shí)，即點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)；②當(dāng)EF∥BC時(shí)，EO=FO；③當(dāng)FE=FO時(shí)，即α=90°，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，三種情況進(jìn)行討論求解．

解答：（1）解：∵∠EOC=∠B+∠BEO，∠B=∠EOF=45°，
∴∠BEO=∠FOC=135°-α，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△BEO∽△COF（AA），
∴

BE

CO

=

BO

CF

，
在Rt△ABC中，∵AB=AC=2，∠A=90°，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
∴BO=CO=

1

2

BC=

2

，
又CF=y，BE=x，
∴y=

2

x

（1≤x≤2）；

（2）∠BEO=∠OEF．
理由如下：由（1）得：△BEO∽△COF，
∴

BE

CO

=

OE

OF

，
又∵CO=OB，
∴

BE

OB

=

OE

OF

，
又∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF，
∴∠BEO=∠OEF；

（3）△OEF能成為等腰三角形．
①當(dāng)EO=EF時(shí)，即點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)x=1，△OEF是等腰三角形．
②當(dāng)EF∥BC時(shí)，EO=FO，此時(shí)x=y，由y=

2

x

可得：x=

2

（舍負(fù)），△OEF是等腰三角形．
③當(dāng)FE=FO時(shí)，即α=90°，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)x=2，△OEF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，（3）中注意要分情況討論，避免漏解．