Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，-2），點(diǎn)B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線x=1．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)E在拋物線上，且S_△EOC=2S_△AOC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于F．求△PBC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）可以采用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，0）、C（0，-2）在函數(shù)圖象上，對(duì)稱軸為x=1，也可求得A的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），列方程組即可求得解析式；
（2）利用面積公式可得△EOC的高，繼而代入二次函數(shù)解析式可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，繼而可得線段PF的長(zhǎng)，然后利用面積和即S_△PBC=S_△CPF+S_△BPF=

1

2

PF×BO，即可求出．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對(duì)稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
依題意得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-2

，
解得：

a= 2 3 b=- 4 3 c=-2

故所求二次函數(shù)的解析式為y=

2

3

x²-

4

3

x-2．

（2）∵S_△AOC=

1

2

•AO•CO=1
∴S_△EOC=2S_△AOC=2=

1

2

•CO•h
∴h=2，
∴E的橫坐標(biāo)為±2，
將其代入二次函數(shù)解析式，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

2

3

•2²-

4

3

•2-2=-2．
當(dāng)x=-2時(shí)，y=

2

3

•（-2）²-

4

3

•（-2）-2=

10

3

．
可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）、（-2，

10

3

）．

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=k₁x+b₁（k≠0，k₁、b₁是常數(shù)），P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

2

3

m²-

4

3

m-2．
依題意，得

0=3k1+b1 -2=b1

，
解之得：

k1= 2 3 b1=-2

故直線BC的解析式為：y=

2

3

x-2；
故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，

2

3

m-2），
故PF=-

2

3

m²+m（0＜m＜3）；
∵S_△PBC=S_△CPF+S_△BPF
=

1

2

PF×BO=

1

2

×（-

2

3

m²+m）×3
=-m²+

3

2

m
∴當(dāng)m=

3

4

時(shí)，△PBC的最大面積為

9

16

，
把m=

3

4

代入y=

2

3

m²-

4

3

m-2．
得y=-

21

8

，
故當(dāng)P的坐標(biāo)為（

3

4

，-

21

8

），△PBC有最大面積，為

9

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合，認(rèn)真分析，仔細(xì)識(shí)圖．注意待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，注意三角形面積的求法．