【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N,點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng),連接PF,過點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0)
(1)若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上(如圖所示),求證:PE=PF;
(2)在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)OE=a,OF=b,試用含a的代數(shù)式表示b;
(3)作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)F′,經(jīng)過M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)Q,連接QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)、證明過程見解析;(2)、b=2+a或b=2-a;(3)、t=,t=,t=2±
【解析】試題分析:(1)、連接PM、PN,根據(jù)切線的性質(zhì)得出PM=PN,根據(jù)就NPM=∠EPF=90°得出∠NPE=∠MPF,從而說明△PMF和△PNE全等,從而說明PE=PF;(2)、根據(jù)t>1和1<t≤1兩種情況求出a和b的關(guān)系;(3)、根據(jù)相似三角形的幾種不同的情況求出t的值.
試題解析:(1)、如圖,連接PM,PN,
∵⊙P與x軸,y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N, ∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,∵PE⊥PF, ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE,
在△PMF和△PNE中,∠NPE=∠MPF PN=PM ∠PNE=∠PMF ,∴△PMF≌△PNE(ASA) ∴PE=PF,
(2)、解:①當(dāng)t>1時(shí),點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上,
由(1)得△PMF≌△PNE,∴NE=MF=t,PM=PN=1, ∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE﹣ON=t﹣1,
∴b﹣a=1+t﹣(t﹣1)=2,∴b=2+a,
②0<t≤1時(shí),如圖2,點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上,
同理可證△PMF≌△PNE, ∴b=OF=OM+MF=1+t,a=ON﹣NE=1﹣t, ∴b+a=1+t+1﹣t=2, ∴b=2-a,
(3)、t=,t=,t=2±
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,外角∠DCG=∠A,點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC上的兩點(diǎn),且EF∥AB.∠D與∠1相等嗎?為什么?
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【題目】若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)的點(diǎn),且點(diǎn)P到x軸的距離是4,到y(tǒng)軸的距離是3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(﹣4,3)
B.(4,﹣3)
C.(﹣3,4)
D.(3,﹣4)
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【題目】如圖, 的周長為36,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),BD=12,求△DOE的周長.
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【題目】某商場銷售A,B兩種型號計(jì)算器,A型號計(jì)算器的進(jìn)貨價(jià)格為每臺(tái)30元,B型號計(jì)算器的進(jìn)貨價(jià)格為每臺(tái)40元.商場銷售5臺(tái)A型號和1臺(tái)B型號計(jì)算器,可獲利潤76元;銷售6臺(tái)A型號和3臺(tái)B型號計(jì)算器,可獲利潤120元.
(1)分別求商場銷售A,B兩種型號計(jì)算器每臺(tái)的銷售價(jià)格.
(2)商場準(zhǔn)備用不多于2 500元的資金購進(jìn)A、B兩種型號計(jì)算器共70臺(tái),問最少需要購進(jìn)A型號的計(jì)算器多少臺(tái)?【利潤=銷售價(jià)格﹣進(jìn)貨價(jià)格】
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【題目】已知a是最大的負(fù)整數(shù),b是最小的正整數(shù),c是絕對值最小的數(shù),則(a+c)÷b=___________.
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【題目】如圖,∠BOC=9°,點(diǎn)A在OB上,且OA=1,按下列要求畫圖:
以A為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1,得第1條線段AA1;再以A1為圓心,1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2,得第2條線段A1A2;再以A2為圓心,1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3,得第3條線段A2A3;…這樣畫下去,直到得第n條線段,之后就不能再畫出符合要求的線段了,則n=______.
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