Question

20．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，過點C的切線交BA的延長線于點D，CD=CB，CE∥AB交半圓于點E．
（1）求∠D的度數(shù)；
（2）求證：以點C，O，B，E為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

分析 （1）連接AC，根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠D=∠ACD=∠ABC，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得∠D的度數(shù)；
（2）連接OC、BE，先證得△AOC是等邊三角形，然后證得四邊形COBE是平行四邊形即可證得結(jié)論．

解答 （1）解：連接AC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ACD=∠ABC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD=CB，
∴∠D=∠ABC，
∴∠D=∠ACD=∠ABC，
∵∠D+∠ACD+∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠D=30°；
（2）證明：連接OC、BE，
∵∠D=∠ACD=30°，
∴∠CAB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC=OC，∠AOC=60°，
∵CE∥AB，
∴AC=EB，
∴四邊形ACEB是等腰梯形，OC=BE，
∴∠CAB=∠EBA=60°，
∴∠AOC=∠EBA=60°，
∴OC∥BE，
∴四邊形COBE是平行四邊形，
∵OC=OB，
∴以點C，O，B，E為頂點的四邊形是菱形．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰梯形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．