Question

1．如圖，直線y=$\frac{4}{3}$x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，動點(diǎn)Q在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動，過點(diǎn)Q作AB的垂線交x軸于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為t秒．
（1）求證：△AQP∽△AOB；
（2）是否存在t值，使△POQ為等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)PQ⊥AB可得出∠AQP=90°，再由∠AOB=90°即可得出結(jié)論；
（2）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再分QP=OP，OQ=QP，OP=OQ三種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AQP=∠AOB=90°．
∵∠QAP為公共角，
∴△AQP∽△AOB；

（2）∵直線y=$\frac{4}{3}$x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=5，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵△AQP∽△AOB，
∴$\frac{AQ}{OA}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{QP}{OB}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{AP}{5}$=$\frac{QP}{4}$，
∴AP=$\frac{5t}{3}$，QP=$\frac{4t}{3}$，
當(dāng)QP=OP時，$\frac{4t}{3}$=3-$\frac{5t}{3}$，解得t=1；
∵點(diǎn)Q在直線y=$\frac{4}{3}$x+4上，AQ=t，
∴Q（3-$\frac{3t}{5}$，$\frac{4t}{5}$），
∴OQ=$\sqrt{（3-\frac{3t}{5}）^{2}+（\frac{4t}{5}）^{2}}$，
∴當(dāng)OQ=QP時，$\sqrt{{（3-\frac{3t}{5}）}^{2}+{（\frac{4t}{5}）}^{2}}$=$\frac{4t}{3}$，解得t₁=$\frac{9}{5}$（舍去），t₂=-$\frac{45}{7}$（舍去）；
當(dāng)OQ=OP時，$\sqrt{{（3-\frac{3t}{5}）}^{2}+{（\frac{4t}{5}）}^{2}}$=3-$\frac{5t}{3}$，解得t₃=$\frac{18}{5}$．
綜上所述，t的值為1或$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解答此題時要注意進(jìn)行分類討論．