Question

（2013四川南充，21，8分）如圖，二次函數(shù)y=x²+bx－3b+3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過點(diǎn)（b－2，2b²－5b－1）.

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）⊙M過A、B、C三點(diǎn)，交y軸于另一點(diǎn)D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）連接AM、DM，將∠AMD繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，若△DMF為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

Answer 1

解：（1）把點(diǎn)（b－2，2b²－5b－1）代入解析式，得

2b²－5b－1=（b－2）²+b（b－2）－3b+3，              ……………1′

解得b=2.

∴拋物線的解析式為y=x²+2x－3.                       ……………2′

（2）由x²+2x－3=0，得x=－3或x=1.

∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）.

拋物線的對(duì)稱軸是直線x=－1，圓心M在直線x=－1上.      ……………3′

∴設(shè)M（－1，n），作MG⊥x軸于G，MH⊥y軸于H，連接MC、MB.

∴MH=1，BG=2.                                        ……………4′

∵MB=MC，∴BG²+MG²=MH²+CH²，

即4+n²=1+（3+n）²，解得n=－1，∴點(diǎn)M（－1，－1）     ……………5′

（3）如圖，由M（－1，－1），得MG=MH.

∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2.

由旋轉(zhuǎn)可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF.

若△DMF為等腰三角形，則△AME為等腰三角形.           ……………6′

設(shè)E（x，0），△AME為等腰三角形，分三種情況：

①AE=AM=，則x=－3，∴E（－3，0）；

②∵M在AB的垂直平分線上，

∴MA=ME=MB，∴E（1，0）                             ……………7′

③點(diǎn)E在AM的垂直平分線上，則AE=ME.

AE=x+3，ME²=MG²+EG²=1+（－1－x）²，∴（x+3）²=1+（－1－x）²，解得x=，∴E（，0）.

∴所求點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－3，0），（1，0），（，0）      ……………8′