【題目】如圖,點(diǎn)C是以AB為直徑的圓O上一點(diǎn),直線AC與過(guò)B點(diǎn)的切線相交于D,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn),直線CE交直線AB于點(diǎn)F.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若ED=3,EF=5,求⊙O的半徑.
【答案】
(1)證明:連CB、OC,如圖,
∵BD為⊙O的切線,
∴DB⊥AB,
∴∠ABD=90°,
∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°,
∵E為BD的中點(diǎn),
∴CE=BE,
∴∠BCE=∠CBE,
而∠OCB=∠OBC,
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°,
∴OC⊥CF,
∴CF是⊙O的切線
(2)解:CE=BE=DE=3,
∵EF=5,
∴CF=CE+EF=8,
∵∠ABD=90°,
∴∠EBF=90°,
∵∠OCF=90°,
∴∠EBF=∠OCF,
∵∠F=∠F,
∴△EBF∽△OCF,
∴ ,
∴ ,
∴OC=6,
即⊙O的半徑為6.
【解析】已知圓的直徑,常添加輔助線是連接弦,構(gòu)造圓周角是直角;要證某一直線是圓的切線,添加輔助線的方法是“連半徑,證垂直”或“作垂線,證半徑”。(1)連CB、OC根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,得出∠ABD=∠BCD=90°,在Rt△BCD中,因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得出EC=BE,得到E∠BCE=∠CBE,于是就可以證得∠OCE=90°,根據(jù)切線的判定定理就可以得到CF是⊙O的切線;(2)由(1)的證明過(guò)程可知CE=BE=DE=3,而EF=5,可以得到CF=8,易證△EBF∽△OCF,從而求得圓的半徑長(zhǎng),。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)說(shuō)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中,看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題: 一個(gè)數(shù)是 59319,希望求出它的立方根.華羅庚脫口而出:39. 鄰座的乘客十分驚奇,忙問(wèn)計(jì)算的奧妙. 你知道華羅庚是怎樣計(jì)算的嗎?請(qǐng)按照下面的問(wèn)題試一試:
(1)由,試確定 是 __________位數(shù);
(2)由 19683 個(gè)位數(shù)是 3,試確定 個(gè)位數(shù)是 ________________;
(3)如果劃去 19683 后面的三位數(shù) 683 得到數(shù) 19 ,而 ,由此你能確定十位 的數(shù)字是___________ ;
(4) 用上述方法確定 110592 的立方根是_______________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知3是關(guān)于x的方程x2﹣(m+1)x+2m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,并且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng),則△ABC的周長(zhǎng)為( )
A.7
B.10
C.11
D.10或11
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某開(kāi)發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地,如圖所示,現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮,經(jīng)測(cè)量,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元,問(wèn)要多少投入?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)軸上有點(diǎn),,,它們表示的數(shù)分別為,,,且滿足:;,,三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),它們的速度分別為:(單位/秒),(單位/秒),(單位/秒).
(1)求,,的值;
(2)運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于多少時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)的距離相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1=∠3,CD∥EF,試說(shuō)明∠1=∠4.請(qǐng)將過(guò)程填寫(xiě)完整.
解:∵∠1=∠3,
又∠2=∠3(_______),
∴∠1=____,
∴______∥______(_______),
又∵CD∥EF,
∴AB∥_____,
∴∠1=∠4(兩直線平行,同位角相等).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某儲(chǔ)運(yùn)部緊急調(diào)撥一批物資,調(diào)進(jìn)物資共用4小時(shí),調(diào)進(jìn)物資2小時(shí)后開(kāi)始調(diào)出物資(調(diào)進(jìn)物資與調(diào)出物資的速度均保持不變).儲(chǔ)運(yùn)部庫(kù)存物資S(噸)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,這批物資從開(kāi)始調(diào)進(jìn)到全部調(diào)出需要的時(shí)間是( )
A. 4小時(shí)B. 4.4小時(shí)C. 4.8小時(shí)D. 5小時(shí)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0),
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,求出A′點(diǎn)的坐標(biāo)。
(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出:以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
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