【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=8,∠BAD=60°,點E從點A出發(fā),沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運(yùn)動,當(dāng)點E不與點A重合時,過點E作EF⊥AD于點F,作EG∥AD交AC于點G,過點G作GH⊥AD交AD(或AD的延長線)于點H,得到矩形EFHG,設(shè)點E運(yùn)動的時間為t秒
(1)求線段EF的長(用含t的代數(shù)式表示);
(2)求點H與點D重合時t的值;
(3)設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)矩形EFHG的對角線EH與FG相交于點O′,當(dāng)OO′∥AD時,t的值為;當(dāng)OO′⊥AD時,t的值為 .
【答案】
(1)
解:由題意知:AE=2t,0≤t≤4,
∵∠BAD=60°,∠AFE=90°,
∴sin∠BAD= ,
∴EF= t
(2)
解:∵AE=2t,∠AEF=30°,
∴AF=t,
當(dāng)H與D重合時,
此時FH=8﹣t,
∴GE=8﹣t,
∵EG∥AD,
∴∠EGA=30°,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠BAC=30°,
∴∠BAC=∠EGA=30°,
∴AE=EG,
∴2t=8﹣t,
∴t=
(3)
解:當(dāng)0<t≤ 時,
此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG,
∴由(2)可知:AE=EG=2t,
∴S=EFEG= t2t=2 t2,
當(dāng) <t≤4時,如圖1,
設(shè)CD與HG交于點I,
此時矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID,
∵AE=2t,
∴AF=t,EF= t,
∴DF=8﹣t,
∵AE=EG=FH=2t,
∴DH=2t﹣(8﹣t)=3t﹣8,
∵∠HDI=∠BAD=60°,
∴tan∠HDI= ,
∴HI= DH,
∴S=EFEG﹣ DHHI=2 t2﹣ (3t﹣8)2=﹣ t2+24 t﹣32
(4)4;3
【解析】解:(4)當(dāng)OO′∥AD時,如圖2
此時點E與B重合,
∴t=4;
當(dāng)OO′⊥AD時,如圖3,
過點O作OM⊥AD于點M,EF與OA相交于點N,
由(2)可知:AF=t,AE=EG=2t,
∴FN= t,
∵O′是矩形EFHG的對角線的交點,
∴FM= EG=t,
∵O′O⊥AD,O′是FG的中點,
∴O′O是△FNG的中位線,
∴O′O= FN= t,
∵AB=8,
∴由勾股定理可求得:OA=4
∴OM=2 ,
∴O′M=2 ﹣ t,
∵FE= t,EG=2t,
∴由勾股定理可求得:FG2=7t2 ,
∴由矩形的性質(zhì)可知:O′F2= FG2 ,
∵由勾股定理可知:O′F2=O′M2+FM2 ,
∴ t2=(2 ﹣ t)2+t2 ,
∴t=3或t=﹣6(舍去).
所以答案是:t=4;t=3.
【考點精析】利用菱形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】地表以下巖層的溫度t (℃),隨著所處的深度 h (km)的變化而變化,t與h 在一定范圍內(nèi)近似成一次函數(shù)關(guān)系.
(1)根據(jù)下表,求 t(℃)與h (km)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)求當(dāng)巖層溫度達(dá)到 1770 ℃時,巖層所處的深度為多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉辦一項小制作評比,作品上交時限為5月1日至30日,組委會把同學(xué)們交來的作品按時間順序每5天組成一組,對每一組的件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖.已知從左到右各矩形的高度比為2:3:4:6:4:1.第三組的頻數(shù)是12.
請你回答:
(1)本次活動共有件作品參賽;
(2)若將各組所占百分比繪制成扇形統(tǒng)計圖,那么第四組對應(yīng)的扇形的圓心角是度.
(3)本次活動共評出2個一等獎和3個二等獎及三等獎、優(yōu)秀獎若干名,對一、二等獎作品進(jìn)行編號并制作成背面完全一致的卡片,背面朝上的放置,隨機(jī)抽出兩張卡片,用列表法或樹狀圖求抽到的作品恰好一個是一等獎,一個是二等獎的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明、小亮、小剛、小穎一起研究一道數(shù)學(xué)題.如圖,已知EF⊥AB,CD⊥AB.
小明說:“如果還知道∠CDG=∠BFE,那么能得到∠AGD=∠ACB.”
小亮說:“把小明的已知和結(jié)論倒過來,即由∠AGD=∠ACB,可得到∠CDG=∠BFE.”
小剛說:“∠AGD一定大于∠BFE.”
小穎說:“如果連結(jié)GF,那么GF一定平行于AB.”
他們四人中,有________個人的說法是正確的.( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D,E分別在AB,AC上,CE=BC,連接CD,將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CF,連接EF.
(1)補(bǔ)充完成圖形;
(2)若EF∥CD,求證:∠BDC=90°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC 中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,點 D 為 AB的中點.
(1)如果點 P 在線段 BC 上以 1cm/s 的速度由點 B 向點 C 運(yùn)動,同時,點 Q 在線段 CA 上由點 C 向點 A 運(yùn)動.
①若點 Q 的運(yùn)動速度與點 P 的運(yùn)動速度相等,經(jīng)過 1 秒后,△BPD 與△CQP 是否全等,請說明理由;
②若點 Q 的運(yùn)動速度與點 P 的運(yùn)動速度不相等,當(dāng)點 Q 的運(yùn)動速度為多少時,能夠使△BPD 與△CQP 全等?
(2)若點 Q 以②中的運(yùn)動速度從點 C 出發(fā),點 P 以原來的運(yùn)動速度從點 B 同時出發(fā),都逆時針沿△ABC 三邊運(yùn)動,則經(jīng)過 后,點 P 與點 Q 第一次在△ABC 的 邊上相遇?(在橫線上直接寫出答案,不必書寫解題過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點稱為整點,記頂點都是整點的三角形為整點三角形.如圖,已知整點A(2,3),B(4,4),請在所給網(wǎng)格區(qū)域(含邊界)上按要求畫整點三角形.
(1)在圖1中畫一個△PAB,使點P的橫、縱坐標(biāo)之和等于點A的橫坐標(biāo);
(2)在圖2中畫一個△PAB,使點P,B橫坐標(biāo)的平方和等于它們縱坐標(biāo)和的4倍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DE=BF.
求證:(1)AF=CE;
(2)AB∥CD;
(3)AD=CB且AD∥CB.
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