Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=8，∠BAD=60°，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，作EG∥AD交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AD交AD（或AD的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)H，得到矩形EFHG，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒

（1）求線段EF的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求點(diǎn)H與點(diǎn)D重合時(shí)t的值；
（3）設(shè)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形的面積與S平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）矩形EFHG的對(duì)角線EH與FG相交于點(diǎn)O′，當(dāng)OO′∥AD時(shí)，t的值為；當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，t的值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知：AE=2t，0≤t≤4，

∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，

∴sin∠BAD= ，

∴EF= t

（2）

解：∵AE=2t，∠AEF=30°，

∴AF=t，

當(dāng)H與D重合時(shí)，

此時(shí)FH=8﹣t，

∴GE=8﹣t，

∵EG∥AD，

∴∠EGA=30°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠BAC=30°，

∴∠BAC=∠EGA=30°，

∴AE=EG，

∴2t=8﹣t，

∴t=

（3）

解：當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，

此時(shí)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為矩形EFHG，

∴由（2）可知：AE=EG=2t，

∴S=EFEG= t2t=2 t2，

當(dāng) ＜t≤4時(shí)，如圖1，

設(shè)CD與HG交于點(diǎn)I，

此時(shí)矩形EFHG與菱形ABCD重疊部分圖形為五邊形FEGID，

∵AE=2t，

∴AF=t，EF= t，

∴DF=8﹣t，

∵AE=EG=FH=2t，

∴DH=2t﹣（8﹣t）=3t﹣8，

∵∠HDI=∠BAD=60°，

∴tan∠HDI= ，

∴HI= DH，

∴S=EFEG﹣ DHHI=2 t2﹣ （3t﹣8）2=﹣ t2+24 t﹣32

（4）4；3
【解析】解：（4）當(dāng)OO′∥AD時(shí)，如圖2

此時(shí)點(diǎn)E與B重合，
∴t=4；
當(dāng)OO′⊥AD時(shí)，如圖3，

過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，EF與OA相交于點(diǎn)N，
由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，
∴FN= t，
∵O′是矩形EFHG的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴FM= EG=t，
∵O′O⊥AD，O′是FG的中點(diǎn)，
∴O′O是△FNG的中位線，
∴O′O= FN= t，
∵AB=8，
∴由勾股定理可求得：OA=4
∴OM=2 ，
∴O′M=2 ﹣ t，
∵FE= t，EG=2t，
∴由勾股定理可求得：FG2=7t2 ，
∴由矩形的性質(zhì)可知：O′F2= FG2 ，
∵由勾股定理可知：O′F2=O′M2+FM2 ，
∴ t2=（2 ﹣ t）2+t2 ，
∴t=3或t=﹣6（舍去）．
所以答案是：t=4；t=3．
【考點(diǎn)精析】利用菱形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．