Question

10．如圖，已知拋物線y=ax²+$\frac{5}{2}$x+c經(jīng)過A（4，0），B（1，0）兩點，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A與B坐標代入拋物線解析式求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）存在，理由為：如圖，設(shè)D橫坐標為t，代入拋物線解析式表示出縱坐標，過D作y軸的平行線交AC于E，連接CD，AD，如圖所示，利用待定系數(shù)法確定出直線AC解析式，表示出E坐標，進而表示出DE長，三角形DAC面積等于DE與OA積的一半，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出S的最大值，確定出此時D坐標即可．

解答 解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{0=16a+10+c}\\{a+\frac{5}{2}+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
則拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）存在，理由如下：
設(shè)D的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2，
過D作y軸的平行線交AC于E，連接CD，AD，如圖所示，
由題意可求得直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴E點的坐標為（t，$\frac{1}{2}$t-2），
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴△DAC的面積S=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
當t=2時，S_最大=4，
∴此時D（2，1），△DAC面積的最大值為4．

點評 此題考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．