Question

【題目】如圖，矩形的兩條邊分別在軸和軸上，已知點(diǎn)、點(diǎn).

(1)若把矩形沿直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，直線與的交點(diǎn)分別為，求折痕的長(zhǎng)；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)在軸上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，則請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖，若為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值和最小值.

Answer 1

【答案】(1)折痕的長(zhǎng)為；(2)點(diǎn)坐標(biāo)為或或或；(3)的最小值為,的最大值為5.

【解析】

(1)連接AD，根據(jù)矩形的性質(zhì)可求出，繼而得，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理求出DC長(zhǎng)，繼而在中利用勾股定理求出DF長(zhǎng)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得EF=DF，進(jìn)而可求得答案；

(2)分兩咱情形分別討論即可：DE為菱形的邊；DE為菱形的對(duì)角線；

(3)由題意點(diǎn)M在如圖3中的圓環(huán)內(nèi)或兩個(gè)圓上，利用圖象法即可解決問(wèn)題.

(1)連接AD，

四邊形是矩形，，

，

由折疊可得：，設(shè)，則，

在中，，

即 ，

解得 ，即，

在中， 即，

解得，

四邊形是矩形，，

，

，

折痕的長(zhǎng)為；

(2)由(1)可知，，

①當(dāng)為菱形的邊時(shí)，，可得，

②當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，與重合，與重合，，

③當(dāng)點(diǎn)在第三象限，與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，

綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或或或；

(3)如圖中，作則，

觀察圖形可知，的最小值 ，

的最大值 .