Question

已知：在面積為7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P為邊AD上不與A、D重合的一動點，Q是邊BC上的任意一點，連接AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，則△PEF面積最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)PD=x，S_△PEF=y．根據(jù)平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及相似三角形的判定，證明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的比是相似比的平方，再由三角形AQD與梯形ABCD的面積公式求得梯形的高，代入S_△PEF=（S_△AQD-S_△DPF-S_△APE）÷2，得出關(guān)于x的二次函數(shù)方程，根據(jù)頂點坐標(biāo)公式，求得則△PEF面積最大值．
解答：解：設(shè)PD=x，S_△PEF=y，S_△AQD=z，梯形ABCD的高為h，
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面積為7，
∴
解得
∵PE∥DQ，
∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD=∠EQF，
∴∠EPF=∠EQF，
∵EF=FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴=，=（）²，
∴S_△PEF=（S_△AQD-S_△DPF-S_△APE）÷2，
∴y=-x²+x，
∵y_最大值==，即y_最大值=．
∴△PEF面積最大值是．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的最值、三角形的面積、梯形的面積以及相似三角形的判定與性質(zhì)．