【題目】如圖:在△ABC中,CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直線EF分別交AB、AC于M、N.
(1)求證:四邊形AECF為矩形;
(2)試猜想MN與BC的關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如果四邊形AECF是菱形,試判斷△ABC的形狀,直接寫出結(jié)果,不用說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)MN∥BC且MN=BC,證明詳見解析;(3)△ABC是直角三角形(∠ACB=90°)
【解析】
(1)根據(jù)題意直接證明三個角是直角即可解決問題;
(2)由題意可知結(jié)論:MN∥BC且MN=BC.只要證明MN是△ABC的中位線即可;
(3)由題意根據(jù)菱形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可判定△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).
(1)證明:∵AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
又∵CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補(bǔ)角∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠DCF,
∴∠ACE+∠ACF=(∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF)=×180°=90°,
∴三個角為直角的四邊形AECF為矩形.
(2)結(jié)論:MN∥BC且MN=BC.
證明:∵四邊形AECF為矩形,
∴對角線相等且互相平分,
∴NE=NC,
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE,
∴MN∥BC,
又∵AN=CN(矩形的對角線相等且互相平分),
∴N是AC的中點,
若M不是AB的中點,則可在AB取中點M1,連接M1N,
則M1N是△ABC的中位線,M1N∥BC,
而MN∥BC,M1即為點M,
所以MN是△ABC的中位線(也可以用平行線等分線段定理,證明AM=BM)
∴MN=BC.
(3)解:△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).
理由:∵四邊形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,
∵EF∥AC,
∴AC⊥CB,
∴∠ACB=90°.即△ABC是直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線與軸交于點(),與軸交于點,拋物線()經(jīng)過,兩點,為線段上一點,過點作軸交拋物線于點.
(1)當(dāng)時,
①求拋物線的關(guān)系式;
②設(shè)點的橫坐標(biāo)為,用含的代數(shù)式表示的長,并求當(dāng)為何值時,?
(2)若長的最大值為16,試討論關(guān)于的一元二次方程的解的個數(shù)與的取值范圍的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某體育用品商場采購員要到廠家批發(fā)購買籃球和排球共個,籃球個數(shù)不少于排球個數(shù),付款總額不得超過元,已知兩種球廠的批發(fā)價和商場的零售價如下表. 設(shè)該商場采購個籃球.
品名 | 廠家批發(fā)價/元/個 | 商場零售價/元/個 |
籃球 | ||
排球 |
(1)求該商場采購費用(單位:元)與(單位:個)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變最的取值范圍:
(2)該商場把這個球全都以零售價售出,求商場能獲得的最大利潤;
(3)受原材料和工藝調(diào)整等因素影響,采購員實際采購時,低球的批發(fā)價上調(diào)了元/個,同時排球批發(fā)價下調(diào)了元/個.該體有用品商場決定不調(diào)整商場零售價,發(fā)現(xiàn)將個球全部賣出獲得的最低利潤是元,求的值.
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2-mx+n圖像的頂點為C(1,-4).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如點A是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上的一動點,過點A作軸,P為垂足,求的最大值;
(3)已知點B(-1,-4),問在的對稱軸上是否存在點Q,使線段QB繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)得到線段,且點恰好落在二次函數(shù)圖像上?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖(1),在中,,,點分別是的中點,過點作直線的垂線段垂足為.點是直線上一動點,作使,連接.
(1)觀察猜想:如圖(2),當(dāng)點與點重合時,則的值為 .
(2)問題探究:如圖(1),當(dāng)點與點不重合時,請求出的值及兩直線夾角銳角的度數(shù),并說明理由
(3)問題解決:如圖(3),當(dāng)點在同一直線上時,請直接寫出的值.
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【題目】隨著人們生活水平的提高,家用轎車越來越多地進(jìn)入家庭.王先生家中買了一輛小轎車,他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程(如下表),以50km為標(biāo)準(zhǔn),多于50km的記為“+”,不足50km的記為“﹣”,剛好50km的記為“0”.
第一天 | 第二天 | 第三天 | 第四天 | 第五天 | 第六天 | 第七天 | |
路程(km) | ﹣8 | ﹣11 | ﹣14 | 0 | ﹣16 | +41 | +15 |
(1)王先生這七天中平均每天駕車行駛多少千米?
(2)若每行駛1km需用汽油0.1升,汽油價格為6.5元/升,則王先生家一個月(按30天計)的汽油費用是多少元?
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【題目】已知:在平行四邊形ABCD中,AB︰BC=3︰2.
(1)根據(jù)條件畫圖:作∠BCD的平分線,交邊AB于點E,取線段BE的中點F,連接DF交CE于點G.
(2)設(shè),那么向量=______.(用向量、表示),并在圖中畫出向量在向量和方向上的分向量.
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【題目】武漢某超市在疫情前用3000元購進(jìn)某種干果銷售,發(fā)生疫情后,為了保障附近居民的生活需求,又調(diào)撥9000元購進(jìn)該種干果.受疫情影響,交通等成本上漲,第二次的進(jìn)價比第一次進(jìn)價提高了20%,但是第二次購進(jìn)干果的數(shù)量是第一次的2倍還多300千克,如果超市先按每千克9元的價格出售,當(dāng)大部分干果售出后,最后的600千克按原售價的7折售完.售賣結(jié)束后,超市決定將盈利的資金捐助給武漢市用于抗擊新冠肺炎疫情.那么該超市可以捐助___________元.
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【題目】工廠甲、乙兩個部門各有員工400人,為了解這兩個部門員工的生產(chǎn)技能情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,請將下列過程補(bǔ)充完整:
收集數(shù)據(jù):
從甲、乙兩個部門各隨機(jī)抽取20名員工,進(jìn)行了生產(chǎn)技能測試,測試成績(百分制)如下:
整理、描述數(shù)據(jù):
按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績 人數(shù) 部門 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 |
(說明:成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀,70—79分為生產(chǎn)技能良好,60—69分為生產(chǎn)技能合格,60分以下為生產(chǎn)技能不合格)
分析數(shù)據(jù):
兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:
部門 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲 | 78.3 | 77.5 | |
乙 | 78 | 81 |
得出結(jié)論:
.估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)約為 .
.可以推斷出 部門員工的生產(chǎn)技能水平高.理由為 .
(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
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