Question

如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，E是AD邊的中點(diǎn)，連接BE，作EG⊥BE交CD于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）求DF的長(zhǎng)；
（3）求△BEG的面積．

Answer 1

（1）證明：∵正方形ABCD中∠A=∠D=90°，EG⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；


（2）解：∵△ABE∽△DEF，E是AD邊的中點(diǎn)，

∴DE=AD=2，
∴DF：AE=DE：AB，即DF：2=2：4，
解得DF=1；


（3）解：∵正方形ABCD中∠DCG=∠D=90°，∠EFD=∠CFG，
∴△CGF∽△DEF，
∴DF：FC=DE：CG，即1：3=2：CG，CG=6，
∴BG=4+6=10，
∴S_△BEG=BG•AB=20．
分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠A=∠D=90°，再根據(jù)EG⊥BE得出∠AEB+∠DEF=90°，再根據(jù)∠AEB+∠ABE=90°即可得出∠DEF=∠ABE，故可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（3）先得出△CGF∽△DEF，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出CG的長(zhǎng)，故可得出BG的長(zhǎng)，根據(jù)S_△BEG=BG•AB即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．