【題目】如圖1,矩形ABCD中,P是AB邊上的一點(diǎn)(不與A,B重合),PE平分∠APC交射線AD于E,過E作EM⊥PE交直線CP于M,交直線CD于N.
(1)求證:CM=CN;
(2)若AB:BC=4:3,
①當(dāng)= 時,E恰好是AD的中點(diǎn);
②如圖2,當(dāng)△PEM與△PBC相似時,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)①;②.
【解析】試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC,由平行線的性質(zhì)、互余兩角關(guān)系、對頂角相等以及角平分線證出∠CMN=∠N,即可得出結(jié)論;
(2)①由題意得出M、N、C三點(diǎn)重合,由ASA證明△APE≌△DFE,得出AP=DF,PE=FE,由線段垂直平分線的性質(zhì)證出AP+CD=PC,設(shè)AD=3,AB=4,過P作PF⊥CD于F,設(shè)AP=DE=x,則PB=CF=4﹣x,PC=4+x,PF=3,由勾股定理得出方程,解方程即可;
②分兩種情況:1.若△PEM∽△CCBP,則∠EPM=∠BCP,得出PE∥BC,不成立;
2.若△PEM∽△PBC,則∠APB=∠EPM=∠BPC=60°,設(shè)AB=4a,BC=AD=3a,則PB= a,AP=()a,AE=()a,設(shè)PE與CD交于點(diǎn)F,證出△PEM∽△FEN,由相似三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理得出,即可得出結(jié)果.
試題解析:解:(1)延長PE交CD的延長線于F,如圖1所示:
∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∠A=∠ADC=∠EDF═90°,AB=CD,AD=BC,∴∠APE+∠AEP=90°,∴∠F=∠APE,∵EM⊥EN,∴∠PEN=∠FEN=90°,∴∠CPE+∠PME=90°,∠F+∠N=90°,∵PE平分∠APC,∴∠APE=∠MPE,又∵∠PME=∠CMN,∴∠CMN=∠N,∴CM=CN;
(2)①若E是AD的中點(diǎn),則M、N、C三點(diǎn)重合,∵E為AD的中點(diǎn),∴AE=DE,在△APE和△DFE中,∵∠A=∠EDF,AE=DE,∠AEP=∠DEF,∴△APE≌△DFE(ASA),∴AP=DF,PE=FE,∵EM⊥EN,∴PC=FC,∵FC=CD+DF,∴AP+CD=PC,設(shè)AD=3a,AB=4a,過P作PF⊥CD于F,如圖2所示:
設(shè)AP=DE=x,則PB=CF=4﹣x,PC=4+x,PF=3,由勾股定理得:(4﹣x)2+32=(4+x)2,解得:x=a,4﹣x=a,∴=;
②分兩種情況:
1.若△PEM∽△CCBP,則∠EPM=∠BCP,∴PE∥BC,不成立;
2.若△PEM∽△PBC,則∠APE=∠EPM=∠BPC=60°,設(shè)AB=4a,BC=AD=3a,則PB=a,AP=()a,AE=()a,設(shè)PE與CD交于點(diǎn)F,如圖3所示:
∵AB∥CD,∴∠EFN=∠BFC=∠APE=60°,∴∠N=∠M=90°﹣60°=30°,∵EM⊥PE,∴∠NEF=∠PEM=90°,∴△PEM∽△FEN,∴ ,∵AB∥CD,∴,∴==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一幅長為80cm,寬為50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條相同寬度的邊框,制成一幅掛圖,如圖所示,設(shè)邊框的寬為xcm,如果整個掛圖的面積是5400cm2 ,那么下列方程符合題意的是( )
A. (50-x)(80-x)=5400 B. (50-2x)(80-2x)=5400
C. (50+x)(80+x)=5400 D. (50+2x)(80+2x)=5400
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD與CE相交于點(diǎn)O.
(1)求證:OB=OC;
(2)若∠ABC=55°,求∠BOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成,長方形的長是8m,寬是2m,拋物線的最高點(diǎn)到路面的距離為6米.
(1)按如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系,求表示該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)一輛貨運(yùn)卡車高為4m,寬為2m,如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向車道,那么這輛貨車能否安全通過?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市某校為了創(chuàng)建書香校園,去年購進(jìn)一批圖書.經(jīng)了解,科普書的單價比文學(xué)書的單價多4元,用12000元購進(jìn)的科普書與用8000元購進(jìn)的文學(xué)書本數(shù)相等.
(1)文學(xué)書和科普書的單價各多少錢?
(2)今年文學(xué)書和科普書的單價和去年相比保持不變,該校打算用10000元再購進(jìn)一批文學(xué)書和科普書,問購進(jìn)文學(xué)書550本后至多還能購進(jìn)多少本科普書?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn),DM⊥AB,且DM=AC,過點(diǎn)M作ME∥BC交AB于點(diǎn)E,
(1)試說明△ABC與△MED全等;
(2)若∠M=35°,求∠B的度數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】因魔幻等與眾不同的城市特質(zhì),以及抖音等新媒體的傳播,重慶已成為國內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一.著名“網(wǎng)紅打卡地”磁器口在2018年五一長假期間,接待游客達(dá)20萬人次,預(yù)計(jì)在2020年五一長假期間,接待游客將達(dá)28.8萬人次.在磁器口老街,美食無數(shù),一家特色小面店希望在五一長假期間獲得好的收益,經(jīng)測算知,該小面成本價為每碗6元,借鑒以往經(jīng)驗(yàn):若每碗賣25元,平均每天將銷售300碗,若價格每降低1元,則平均每天多銷售30碗.
(1)求出2018至2020年五一長假期間游客人次的年平均增長率;
(2)為了更好地維護(hù)重慶城市形象,店家規(guī)定每碗售價不得超過20元,則當(dāng)每碗售價定為多少元時,店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP、CP的延長線分別交AD于點(diǎn)E、F,連接BD、DP,BD與CF相交于點(diǎn)H,給出下列結(jié)論:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PHPC
其中正確的是( 。
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
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【題目】為了了解全年級學(xué)生英語作業(yè)的完成情況,幫助英語學(xué)習(xí)成績差的學(xué)生盡快提高成績,班主任和英語教師從全年級名學(xué)生中抽取名進(jìn)行調(diào)查.首先,老師檢查了這些學(xué)生的作業(yè)本,記錄下獲得“優(yōu)”、“良”、“中”、“差”的人數(shù)比例情況;其次老師發(fā)給每人一張調(diào)查問卷,其中有一個調(diào)查問題是:“你的英語作業(yè)完成情況如何?”,給出五個選項(xiàng):A.獨(dú)立完成;B.輔導(dǎo)完成;C.有時抄襲完成;D.經(jīng)常抄襲完成;E.經(jīng)常不完成,供學(xué)生選擇,英語教師發(fā)現(xiàn)選獨(dú)立完成和輔導(dǎo)完成這兩項(xiàng)的學(xué)生一共占,明顯高于他平時觀察到的比例,請回答下列問題:
(1)英語教師所用的調(diào)查方式是_______;
(2)如果老師的英語作業(yè)檢查只得“差”的同學(xué)有名,那么估計(jì)全年級的英語作業(yè)中可能有多少同學(xué)得“差”;
(3)通過問卷調(diào)查,老師得到的數(shù)據(jù)與事實(shí)不符,請你解釋這個統(tǒng)計(jì)數(shù)字失真的原因.
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