Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線DE交AC于點E，若AD+AC=24，BD+BC=20，∠ABE=40°，求△BEC的周長和∠EBC的度數(shù)．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)線段垂直平分線的定義可得AD=BD=

1

2

AB，然后求出AC、BC的值，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點距離相等可得AE=BE，然后求出△BEC的周長=AC+BC，根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠ABE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC，然后根據(jù)∠EBC=∠ABC-∠ABE代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

解答：解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD=BD=

1

2

AB，
∵AD+AC=24，
∴AD=

1

1+2

×24=8，AC=

2

1+2

×24=16，
∵BD+BC=20，
∴BC=12，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴△BEC的周長=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴△BEC的周長=16+12=28；
∵∠ABE=40°，AE=BE，
∴∠A=∠ABE=40°，
∴∠ABC=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-40°）=70°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-40°=30°．

點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．