Question

20．由若干邊長為1的小正方形拼成一系列“L”形圖案（如圖1）．

（1）當“L”形由7個正方形組成時，其周長為16；
（2）如圖2，過格點D作直線EF，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)．
①試說明AE•AF=AE+AF；
②若“L”形由n個正方形組成時，EF將“L”形分割開，直線上方的面積為整個“L”形面積的一半，試求n的取值范圍以及此時線段EF的長．

Answer 1

分析 （1）畫出圖形即可解決問題．
（2）如圖2中，連接AD，根據(jù)S_△EAF=S_△ADE+S_△ADF即可解決問題．
（3）如圖3中，設有n個正方形，AE=x，AF=y，列方程組，根據(jù)判別式△≥0即可解決問題．

解答 解：（1）當“L”形由7個正方形組成時，其周長為2×7+2=16．
故答案為16．

（2）①如圖2中，連接AD，

∵S_△EAF=S_△ADE+S_△ADF=$\frac{1}{2}$•AE•AF=$\frac{1}{2}$•AE•1+$\frac{1}{2}$•AF•1，
∴AE•AF=AE+AF．

②如圖3中，設有n個正方形，AE=x，AF=y，

∵$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$n，
∴xy=x+y=n，
∴x=n-y   ①
∵DG∥AF，
∴$\frac{EG}{EA}$=$\frac{DG}{AF}$，
∴$\frac{x-1}{x}$=$\frac{1}{y}$，
∴xy-y=x    ②
①代入②得到，y²-ny+n=0，
∵△≥0，
∴n²-4n≥0，
解得n≤0或n≥4，
∵n＞0，
∴n≥4．
∴EF=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+y）^{2}-2xy}$=$\sqrt{{n}^{2}-2n}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是利用面積法解決AE、AF之間的數(shù)量關系，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．