【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,點E在AD邊上運動,且不與點A和點D重合,連結CE,過點C作CFCE交AB的延長線于點F,EF交BC于點G.

(1)求證:CDE≌△CBF;

(2)當DE=時,求CG的長;

(3)連結AG,在點E運動過程中,四邊形CEAG能否為平行四邊形?若能,求出此時DE的長;若不能,說明理由.

【答案】(1解析;(2;3.

【解析】

試題分析:(1)先判斷出CBF=90°,進而判斷出1=3,即可得出結論;

(2)先求出AF,AE,再判斷出GBF∽△EAF,可求出BG,即可得出結論;

(3)假設是平行四邊形,先判斷出DE=BG,進而判斷出GBF和ECF是等腰直角三角形,即可得出GFB=CFE=45°,即可得出結論.

試題解析:(1)如圖,在正方形ABCD中,DC=BC,D=ABC=DCB=90°,

∴∠CBF=180°﹣ABC=90°,1+2=DCB=90°,

CFCE,∴∠ECF=90°,

∴∠3+2=ECF=90°,∴∠1=3,

CDE和CBF中,

∴△CDE≌△CBF,

(2)在正方形ABCD中,ADBC,

∴△GBF∽△EAF,

由(1)知,CDE≌△CBF,

BF=DE=,

正方形的邊長為1,AF=AB+BF=,AE=AD﹣DE=

,,BG=,CG=BC﹣BG=

(3)不能,

理由:若四邊形CEAG是平行四邊形,則必須滿足AECG,AE=CG,

AD﹣AE=BC﹣CG,

DE=BG,

由(1)知,CDE≌△ECF,

DE=BF,CE=CF,

∴△GBF和ECF是等腰直角三角形,

∴∠GFB=45°,CFE=45°,

∴∠CFA=GFB+CFE=90°,

此時點F與點B重合,點D與點E重合,與題目條件不符,

點E在運動過程中,四邊形CEAG不能是平行四邊形.

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