【題目】如圖,已知拋物線x軸交于A、軸交于AB兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,已知A1,0),C02).

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Ex軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】1y=x2+x+22P1,4),P2 ),P3.3)四邊形CDBF的面積最大=,E2,1

【解析】試題分析:(1)把A10),C0,2)代入y=x2+mx+n,然后解方程組即可;(2)先確定出拋物線的對(duì)稱軸x=,然后PCD是以CD為腰的等腰三角形分情況討論即可,(3)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)(40),然后求出直線BC的解析式,過點(diǎn)CCMEFM,設(shè)Ea,a+2),Fa,a2+a+2),然后用a表示出四邊形CDBF的面積,利用配方法化為頂點(diǎn)式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可解決問題.

試題解析:(1∵拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過A1,0),C0,2).

解得: ,∴拋物線的解析式為:y=x2+x+2 ;

2):y=x2+x+2;∴拋物線的對(duì)稱軸是x=

OD=

C0,2),OC=2

RtOCD中,由勾股定理,得

CD=

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形,

CP1=CP2=CP3=CD

CHx軸于H,

HP1=HD=2,DP1=4

P14),P2, ),P3.

3)當(dāng)y=0時(shí),0=x2+x+2

x1=﹣1x2=4,

B4,0).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,由圖象,得,解得: ,

∴直線BC的解析式為:y=x+2

如圖2,過點(diǎn)CCMEFM,

設(shè)Ea, a+2),Fa,a2+a+2),

EF=a2+a+2a+2=a2+2a0≤x≤4).

S四邊形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN,

=+aa2+2a+4a)(a2+2a),

=a2+4a+0≤x≤4).

=a22+

a=2時(shí),S四邊形CDBF的面積最大=,

E2,1

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車型

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5

8

10

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