Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）．
（1）直接寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）平行于對(duì)角線AC的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N，設(shè)直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
①若MN=AC，求t的值；
②設(shè)△OMN的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S=．

Answer 1

解：（1）A（4，0），C（0，3）；
（2）①x軸正方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，直線m運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t時(shí)，
可以分為兩種情況：
當(dāng)M、N分別在OA、OC上時(shí)，如下圖所示：

∵直線m平行于對(duì)角線AC
∴△OMN∽△OAC
∴==
∴t=2s；
當(dāng)M、N分別在AB、BC上時(shí)，如下圖所示：

∵直線m平行于對(duì)角線AC
∴△BMN∽△BAC
∴==
∴t=6
綜上所述，當(dāng)t=2或6時(shí)，MN=AC
②當(dāng)0＜t≤4時(shí)，OM=t，
由△OMN∽△OAC，
得，
∴ON=t，S==
∴t=2；
當(dāng)4＜t＜8時(shí)，
如圖，∵OD=t，∴AD=t-4．

由△DAM∽△AOC，可得AM=（t-4）
∴BM=6-t．
由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t
∴CN=t-4
S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積
=12--（8-t）（6-t）-
=-+3t，
∴-+3t=
解得
取t=4+2
故當(dāng)t=2或4+2時(shí)，△OMN的面積S=．
分析：（1）因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），所以可知，OA=CB=4，OC=AB=3，故可知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①可以分為兩種情況：當(dāng)M、N分別在OA、OC上時(shí)，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM的長，即可求得t的值；當(dāng)M、N分別在AB、BC上時(shí)，可證明△BMN∽△BAC，由題意可求得BM的長，即可由相似三角形的性質(zhì)求得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．
②可以分為兩種情況：當(dāng)M、N分別在OA、OC上時(shí)，可證明△OMN∽△OAC，由題意可求得OM、ON的長，即可求得面積的表達(dá)式，再由面積為可得t的值；當(dāng)M、N分別在AB、BC上時(shí)，由△DAM∽△AOC，可得AM，由△BMN∽△BAC，可得BN，即可得BM、CN，由S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積-Rt△MBN的面積-Rt△NCO的面積，可得關(guān)于t的表達(dá)式，再由面積為可得t的值，綜合以上兩種情況即是要求的t值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討論思想．