Question

已知 A（-4，0）B （0，4）以A點為位似中心將OB向右側放大，得到點B的對應點C，且．
（1）求C點的坐標；
（2）若拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸的正半軸上，求拋物線的解析式．
（3）點P在（2）中的拋物線上，且到直線AB的距離為，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設點C的坐標為（x，y），然后根據(jù)位似比列式求出a、b的值，即可得解；
（2）根據(jù)點B、C的坐標設出拋物線的解析式，再根據(jù)頂點落在x軸的正半軸上可知，拋物線與x軸只有一個交點，所以△=b²-4ac=0，且x=-＞0，從而求出拋物線的解析式；
（3）過點O作BC的垂線交BC于點N，根據(jù)點A、B的坐標可知△AOB是等腰直角三角形，然后求出ON的長度，設點P所在的直線ME交y軸于點E，交BC的垂線于點M，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度，然后求出直線ME的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點P的坐標，同理當點E在點B的下方時，求出直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解得到點P的坐標，從而得解．
解答：解：（1）設點C的坐標為（x，y），
∵A（-4，0）、B（0，4），=，
∴===，
解得x=5，y=9，
∴點C（5，9）；

（2）∵B（0，4），
∴設拋物線解析式為y=ax²+bx+4，
∵C（5，9），
∴25a+5b+4=9，
∴b=1-5a，
∴拋物線解析式為y=ax²+（1-5a）x+4，
∵△=b²-4ac=（1-5a）²-16a=0，
∴25a²-26a+1=0，
解得a₁=1，a₂=，
∵x=-=-＞0，
解得a＜0或a＞，
∴a=1，
∴y=x²-4x+4；

（3）如圖，過點O作BC的垂線交BC于點N，設點P所在的直線ME交y軸于點E，交BC的垂線于點M，
則MN=3，
∵A（-4，0）、B（0，4），
∴AO=4，OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴ON=AO•sin45°=4×=2，
∴OM=ON+MN=2+3=5，
∴===，
∴OE=OB=×4=10，
∴點E的坐標為（0，10），
∴直線ME的解析式為y=x+10
由，
解得，，
同理：點F為（0，-2），
由，
解得，，
∴點P的坐標為（-1，9）或（6，16）或（2，0）或（3，1）．
點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點問題，點到直線的距離，位似變換的性質，等腰直角三角形的性質，函數(shù)圖象的交點的求解方法，綜合性較強，難度較大，根據(jù)頂點在x軸的正半軸上求出拋物線的解析式是解題的關鍵．