Question

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點D是斜邊AB的中點，△ABC繞點C旋轉，使得點B落在射線CD上，點A落在點A′，那么AA′的長是$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)勾股定理計算出BC=6，由點D是斜邊AB的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得DC=DB，則∠DCB=∠B，再根據(jù)旋轉的性質得∠B=∠B′，CA=CA′=8，AB=A′B′=10，∠ACB=∠A′CB′=90°，則∠B′=∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面積法可計算出CE=$\frac{24}{5}$，AE=AC-CE=$\frac{16}{5}$，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理計算出A′E=$\frac{32}{5}$，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可計算出AA′．

解答 解：設AC與A′B′的交點為E，如圖，
∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵點D是斜邊AB的中點，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵△ABC繞點C旋轉，使得點B落在射線CD上，點A落在點A′，
∴∠B=∠B′，CA=CA′=8，AB=A′B′=10，∠ACB=∠A′CB′=90°，
∴∠B′=∠DCB，
∴A′B′∥BC，
而∠ACB=90°，
∴A′B′⊥AC，
$\frac{1}{2}$CE•A′B′=$\frac{1}{2}$A′C•CB′，
∴CE=$\frac{24}{5}$，
∴AE=AC-CE=8-$\frac{24}{5}$=$\frac{16}{5}$，
在Rt△A′CE中，A′E=$\sqrt{A′{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
在Rt△AA′E中，AA′=$\sqrt{A'{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{32}{5}）^{2}+（\frac{16}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$$\sqrt{5}$；
故答案為：$\frac{16}{5}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及勾股定理．