Question

如圖甲，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向以1厘米/秒的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E、F中有一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF和△ACD相似？
（2）連接BF，隨著點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)，四邊形ABFE可能是直角梯形？若可能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△AFE的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AC=
若△AEF∽△ADC，則
∴
解得：t=
若△AEF∽△ACD，則
∴
解得：t=
答：當(dāng)t為秒或秒時(shí)，△AEF與△ADC相似．

（2）若四邊形ABFE是直角梯形，則△AEF∽△CBA
∴
∴t=
答：當(dāng)t為時(shí)，四邊形ABFE是直角梯形．

（3）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC交于M，

則△AME∽△CBA
∴
∴
∴ME=
∴S_△AEF=AF•EM=（10-2t）×t=-（t-）²+
∴當(dāng)t=時(shí)，△AFE的面積最大，最大值是cm²．
分析：（1）本題可分兩種情況：△AEF∽△ADC或△AEF∽△ACD，可根據(jù)不同的相似三角形得出的對(duì)應(yīng)成比例線段求出t的值；
（2）若四邊形ABEF是直角梯形，只有一種可能即：AB∥EF，此時(shí)△AEF∽△CBA，可根據(jù)得出的關(guān)于AE、AF、BC、AC的比例關(guān)系式求出t的值；
（3）可先求出關(guān)于三角形AFE的面積與t的函數(shù)關(guān)系式，三角形AEF中，AE的長(zhǎng)為t，AE邊上的高，可用AF的長(zhǎng)和∠DAC的正弦值（用相似三角形來(lái)求也可以）表示出來(lái)，由此可得出關(guān)于△AEF的面積和t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角梯形的判定、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．