Question

如圖甲，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm．點E從點A出發(fā)沿AD方向以1厘米/秒的速度向終點D運動；點F從點C出發(fā)沿CA方向以2厘米/秒的速度向終點A運動．當點E、F中有一點運動到終點時，另一點也隨之停止．設運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，△AEF和△ACD相似？
（2）連接BF，隨著點E、F的運動，四邊形ABFE可能是直角梯形？若可能，請求出t的值；若不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，△AFE的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）本題可分兩種情況：△AEF∽△ADC或△AEF∽△ACD，可根據(jù)不同的相似三角形得出的對應成比例線段求出t的值；
（2）若四邊形ABEF是直角梯形，只有一種可能即：AB∥EF，此時△AEF∽△CBA，可根據(jù)得出的關于AE、AF、BC、AC的比例關系式求出t的值；
（3）可先求出關于三角形AFE的面積與t的函數(shù)關系式，三角形AEF中，AE的長為t，AE邊上的高，可用AF的長和∠DAC的正弦值（用相似三角形來求也可以）表示出來，由此可得出關于△AEF的面積和t的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對應的t的值．

解答：解：（1）在△ABC中，AC=

AB2+BC2

=10
若△AEF∽△ADC，則

AE

AD

=

AF

AC

∴

t

6

=

10-2t

10

解得：t=

30

11

若△AEF∽△ACD，則

AE

AC

=

AF

AD

∴

t

10

=

10-2t

6

解得：t=

50

13

答：當t為

30

11

秒或

50

13

秒時，△AEF與△ADC相似．

（2）若四邊形ABFE是直角梯形，則△AEF∽△CBA
∴

t

8

=

10-2t

10

∴t=

40

13

答：當t為

40

13

時，四邊形ABFE是直角梯形．

（3）過點E作EM⊥AC交于M，

則△AME∽△CBA
∴

AE

AC

=

ME

AB

∴

t

10

=

ME

6

∴ME=

3

5

t
∴S_△AEF=

1

2

AF•EM=

1

2

（10-2t）×

3

5

t=-

3

5

（t-

5

2

）²+

15

4

∴當t=

5

2

時，△AFE的面積最大，最大值是

15

4

cm²．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角梯形的判定、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應用等知識點．