Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．

(1)求拋物線解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形是以為對(duì)角線的平行四邊形．

①求平行四邊形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

②當(dāng)平行四邊形的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形是否為菱形？

③是否存在點(diǎn)，使平行四邊形為正方形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，，②當(dāng)點(diǎn)E為（4，-4）時(shí)，平行四邊形OEAF不是菱形；當(dāng)點(diǎn)E為（3，-4）時(shí)，平行四邊形OEAF是菱形．③不存在這樣的點(diǎn)，使平行四邊形是正方形，理由見解析．

【解析】

（1）將拋物線解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，然后用待定系數(shù)法就可解決問題．

（2）①求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可得到x的取值范圍，由于△OAE與△AOF全等，因此S=2S△OAE=-6y，然后把y換成x的代數(shù)式即可．

②易求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后算出OE、AE的長(zhǎng)，就可判定四邊形OEAF是否為菱形；

③可先求出使四邊形OEAF是菱形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后再驗(yàn)證菱形OEAF是否是正方形．

解：（1）由拋物線的對(duì)稱軸是，可設(shè)解析式為．

把、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得

解得：，．

∴拋物線的解析式為：．

（2）①∵點(diǎn)在拋物線上，位于第四象限，

∴，即，表示點(diǎn)到的距離．

∵是的對(duì)角線，

∴，

∵，

∴；

∵拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是和，

∴自變量的取值范圍是；

∴，（）.

②依題意，當(dāng)時(shí)，即，

解得，；

Ⅰ．當(dāng)x=4時(shí)，，則點(diǎn)E（4，-4）．

過點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，

則有OH=4，EH=4，AH=2．

∵EH⊥x軸，

∴OE=，AE=．

∴OE≠AE．

∴平行四邊形OEAF不是菱形．

Ⅱ．當(dāng)x=3時(shí)，，則點(diǎn)E（3，-4）．

過點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖3，

則有OH=3，EH=4，AH=3．

∵EH⊥x軸，

∴OE=5，AE=5．

∴OE=AE．

∴平行四邊形OEAF是菱形．

綜上所述；當(dāng)點(diǎn)E為（4，-4）時(shí)，平行四邊形OEAF不是菱形；當(dāng)點(diǎn)E為（3，-4）時(shí)，平行四邊形OEAF是菱形．

③不存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形．

理由如下：

當(dāng)點(diǎn)E在線段OA的垂直平分線上時(shí)，EO=EA，則平行四邊形OEAF是菱形，如圖4，
此時(shí)，，，，點(diǎn)E為（3，-4）．

則有OA=6，EF=8．

∵OA≠EF，

∴菱形OEAF不是正方形．

∴不存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形．