Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，P點從C出發(fā)，在CB邊上以每秒一個單位的速度向B運動，運動時間為t秒（0≤t≤4）．BD⊥AP于點D，AC=BC=4，AP：BD=n．
（1）如圖，當t=2時，求n的值；
（2）若n=2時，求t的值；
（3）當n的值為

4

3

時，直接寫出滿足條件的t的值

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得

CP

AC

=

PD

DB

，根據(jù)勾股定理，可得AP、BD的長，根據(jù)比，可得答案；
（2）根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)，可得AP與BG，CP與CG的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AG與AB的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得AP的長，根據(jù)兩角相等得三角形相似，可得△ACP∽△BDP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：（1）∵∠C=∠D=90°，∠CPA=∠DPB
∴△APC∽△BPD，
∴

CP

AC

=

PD

DB

當t=2時，AC=2PC=4，PB=2，BD=2PD
∴AP=2

5

，BD=

4 5

5

∴n=

AP

BD

=

2 5

4 5 5

=

5

2

；
（2）延長BD，AC交于點G，
∵∠CAP+∠CPA=∠CBG+∠BPD，∠APC=∠BPD
∴∠CAP=∠CBG
在△ACP和△BCP中，

AC=BC ∠ACP=∠BCG ∠CAP=∠CBG

∴△ACP≌△BCG（ASA）
∴AP=BG，CP=CG，
由勾股定理得
AB=

AC2+BC2

=4

2

當n=2時AP=2BD=BG
∴D是BG中點
∴AG=AB=4

2

，
∴t=CP=CG=4

2

-4；     
（3）t=

4 7 -8

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．