Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延長BC到E，使CE=AD．

         （1）寫出圖中所有與△DCE全等的三角形，并選擇其中一對說明全等的理由；

           （2）探究當(dāng)?shù)妊�梯�?i>ABCD的高DF是多少時，對角線AC與BD互相垂直？請回答并說明理由．

 

                                                            

Answer 1

．解：（1）①△DCE≌△CDA；②△DCE≌△BAD選②，

理由如下：

∵四邊形ABCD是等腰梯形

∴∠BAD=∠CDA，

AD∥BC  AB=DC

∴∠ADC=∠DCE=∠BAD

∵AD=CE  ∴△DCE≌△BAD（SAS）

（2）當(dāng)DF為3時，對角線AC與BD互相垂直，理由如下：

思路一：由（2）得：△DCE≌△BAD，△DCE=△CDA

∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠6   當(dāng)AC⊥BD時  ∠3=∠4=45°

∵DF⊥BF   ∴∠3=∠5=45°

∵∠3=∠6  ∴△DBE為等腰三角形

∴BF=

∴當(dāng)DF為3時，對角線AC與BD互相垂直.

思路二：當(dāng)DF為3時，對角線AC與BD互相垂直，

理由如下：

∵AD∥BC   ∴AD∥CE

∵CE=AD   ∴四邊形ACED是平行四邊形.

∴AC=DE，AC∥DE    ∵四邊形ABCD是等腰梯形

∴AC=BD    ∴DE=BD

∴△BDE是等腰三角形   ∵DF⊥BE于F

∴BF=EF=BE=×6=3   ∵DF=3

∴BF=DF   ∴△BFD是等腰直角三角形

∴∠E=∠DBF=45°    ∴∠BDE=180°-45°-45°=90°

∴BD⊥DE  ∴BD⊥AC 即：AC與BD垂直.