Question

如圖，已知⊙M的半徑為2cm，圓心角∠AMB=120°，并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線的解析式；
（3）點(diǎn)D是位于AB所對(duì)的優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACBD的最大面積；
（4）在（2）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB和△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知：∠AMB=120°，
∴∠CMB=60°，∠OBM=30度．
∴OM=MB=1，
∴M（0，1）．

（2）由A，B，C三點(diǎn)的特殊性與對(duì)稱性，知經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+c．
∵OC=MC-MO=1，OB=，
∴C（0，-1），B（ ，0）．
∴c=-1，a=．
∴y=x²-1．

（3）∵S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC與AB均為定值，
∴當(dāng)△ABD邊AB上的高最大時(shí)，S_△ABD最大，此時(shí)點(diǎn)D為⊙M與y軸的交點(diǎn)．
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ABC+S_△ABD=AB•OC+AB•OD
=AB•CD
=4 cm²．

（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，如下圖所示：
方法1：
∵△ABC為等腰三角形，∠ABC=30°，，
∴△ABC∽△PAB等價(jià)于∠PAB=30°，PB=AB=2 ，PA=PB=6．
設(shè)P（x，y）且x＞0，則x=PA•cos30°-AO=3 -=2 ，y=PA•sin30°=3．
又∵P（2 ，3）的坐標(biāo)滿足y=x²-1，
∴在拋物線y=x²-1上，存在點(diǎn)P（2 ，3），
使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對(duì)稱性，知點(diǎn)（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點(diǎn)P，它的坐標(biāo)為（2 ，3）或（-2 ，3）．
說(shuō)明：只要求出（2 ，3），（-2 ，3），無(wú)最后一步不扣分．下面的方法相同．
方法2：
當(dāng)△ABC∽△PAB時(shí)，∠PAB=∠BAC=30°，又由（1）知∠MAB=30°，
∴點(diǎn)P在直線AM上．
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
將A（-，0），M（0，1）代入，
解得 ，
∴直線AM的解析式為y=x+1．
解方程組 ，
得P（2 ，3）．
又∵，
∴∠PBx=60度．
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△PAB．
∴在拋物線y=x²-1上，存在點(diǎn)（2 ，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對(duì)稱性，知點(diǎn)（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點(diǎn)P，它的坐標(biāo)為（2 ，3）或（-2 ，3）．
方法3：
∵△ABC為等腰三角形，且 ，
設(shè)P（x，y），則△ABC∽△PAB等價(jià)于PB=AB=2 ，PA=AB=6．
當(dāng)x＞0時(shí)，得 ，
解得P（2 ，3）．
又∵P（2 ，3）的坐標(biāo)滿足y=x²-1，
∴在拋物線y=x²-1上，存在點(diǎn)P（2 ，3），使△ABC∽△PAB．
由拋物線的對(duì)稱性，知點(diǎn)（-2 ，3）也符合題意．
∴存在點(diǎn)P，它的坐標(biāo)為（2 ，3）或（-2 ，3）．
分析：（1）在直角△AMO中，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出OM，就可以得到M的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)三角函數(shù)就可以求出A，B的坐標(biāo)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，因而M一定是拋物線的頂點(diǎn)．根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（3）四邊形ACBD的面積等于△ABC的面積+△ABP的面積，△ABC的面積一定，△ABP中底邊AB一定，P到AB的距離最大是三角形的面積最大，即當(dāng)P是圓與y軸的交點(diǎn)時(shí)面積最大．
（4）△PAB和△ABC相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的知識(shí)，其中涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等等知識(shí)，注意熟練掌握這些知識(shí)并靈活應(yīng)用．