如圖,已知⊙O的半徑為6cm,射線PM經(jīng)過點O,OP=10cm,射線PN與⊙O相切于點Q.A,B兩點同時從點精英家教網(wǎng)P出發(fā),點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動,點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動.設運動時間為ts.
(1)求PQ的長;
(2)當t為何值時,直線AB與⊙O相切?
分析:(1)PN與⊙O相切于點Q,OQ⊥PN,即∠OQP=90°,在直角△OPQ中根據(jù)勾股定理就可以求出PQ的值;
(2)過點O作OC⊥AB,垂足為C.直線AB與⊙O相切,則△PAB∽△POQ,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等,就可以求出t的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連接OQ,
∵PN與⊙O相切于點Q,
∴OQ⊥PN,
即∠OQP=90°,(2分)
∵OP=10,OQ=6,
∴PQ=
102-62
=8(cm).(3分)

(2)過點O作OC⊥AB,垂足為C,
∵點A的運動速度為5cm/s,點B的運動速度為4cm/s,運動時間為ts,
∴PA=5t,PB=4t,
∵PO=10,PQ=8,
PA
PO
=
PB
PQ

∵∠P=∠P,
∴△PAB∽△POQ,
∴∠PBA=∠PQO=90°,(4分)
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,
∴四邊形OCBQ為矩形.
∴BQ=OC.
∵⊙O的半徑為6,
∴BQ=OC=6時,直線AB與⊙O相切.
①當AB運動到如圖1所示的位置,精英家教網(wǎng)
BQ=PQ-PB=8-4t,
∵BQ=6,
∴8-4t=6,
∴t=0.5(s).(6分)
②當AB運動到如圖2所示的位置,
BQ=PB-PQ=4t-8,
∵BQ=6,
∴4t-8=6,
∴t=3.5(s).
∴當t為0.5s或3.5s時直線AB與⊙O相切.(8分)
點評:本題主要考查了圓的切線的性質,切線垂直于過切點的半徑.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點,連接圓心與這點(即為半徑),再證垂直即可.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知⊙O的半徑為1,銳角△ABC內接于⊙O,作BD⊥AC于點D,OM⊥AB于點M.sin∠CBD=
13
.則OM=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知⊙O的半徑為5,銳角△ABC內接于⊙O,弦AB=8,BD⊥AC于點D,OM⊥AB于點M,則sin∠CBD的值等于(  )
A、0.6B、0.8C、0.5D、1.2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•新疆)如圖,已知⊙O的半徑為4,CD是⊙O的直徑,AC為⊙O的弦,B為CD延長線上的一點,∠ABC=30°,且AB=AC.
(1)求證:AB為⊙O的切線;
(2)求弦AC的長;
(3)求圖中陰影部分的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知⊙O的半徑為5,兩弦AB、CD相交于AB中點E,且AB=8,CE:ED=4:9,則圓心到弦CD的距離為( 。
A、
2
14
3
B、
28
9
C、
2
7
3
D、
80
9

查看答案和解析>>

同步練習冊答案