Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為（1，）．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖①，設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，試在對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使△CDP為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，連結(jié)AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交線段BC于點(diǎn)F，連結(jié)CE，記△CEF的面積為S，求出S的最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)為（1，），
所以設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a （ x-1）²+，
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，4），
∴a（0-1）²+=4．
解得：a=-．
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-（x-1）²+．

（2）如圖①，過點(diǎn)C作CE⊥對(duì)稱軸與點(diǎn)E，
當(dāng)CD=CP₁時(shí)，∵點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為（1，），
∴CD==，DE=4，
∴CP₁=，EP₁=4，
∴P₁的坐標(biāo)為：（1，8），
當(dāng)CD=DP₂時(shí)，P₂的坐標(biāo)為：（1，），
當(dāng)CP₃=DP₃時(shí)，
設(shè)CP₃=DP₃=y，
∴CE²+EP=CP，
∴1+（4-y）²=y²，
解得：y=，
∴P₃的坐標(biāo)為：（1，），
當(dāng)CD=CP₄時(shí)，
P₄的坐標(biāo)為：（1，-），
綜上所述：符合條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)是：
（1，），（1，-），（1，8），（1，）；

（3）令-（x-1）²+=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，．
∴拋物線y=-（x-1）²+與x軸的交點(diǎn)為A（-2，0），B（4，0）．
過點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
=．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×CO=EB．
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)（x，0），則EB=4-x．MF=（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=EB•CO-EB•MF，
=EB（OC-MF）=（4-x）[4-（4-x）]
=-x²+x+=-（x-1）²+3．
Qa=-＜0，
∴S有最大值．
當(dāng)x=1時(shí)，S_最大值=3．
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．
分析：（1）將拋物線的頂點(diǎn)代入到拋物線的頂點(diǎn)式中得到y(tǒng)=a （ x-1）²+，然后將與y軸交于點(diǎn)C代入到上式中即可求得函數(shù)的解析式；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)分別得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后過點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M，利用△BEF∽△BAC即可得到函數(shù)關(guān)系式S=-x²+x+，配方后即可求得最大值，從而求得E點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．