Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，3）、B（0，3）、C（4，-5）三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，y＞3；
（3）試確定△ABC的外接圓圓心M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（2）易知A（2，3），B（0，3），由圖知，當(dāng)拋物線上的點(diǎn)在B、A之間時(shí)，縱坐標(biāo)都大于3，由此可得當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y＞3；
（3）作△ABC任意兩邊的中垂線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為所求的M點(diǎn)；由于AB的垂直平分線是拋物線的對稱軸方程，那么點(diǎn)M必在拋物線的對稱軸上，可據(jù)此設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；然后根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求出MB、MC的長，由于三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，那么MB=MC，由此可列出關(guān)于M點(diǎn)縱坐標(biāo)的方程，從而求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（2，3）、B（0，3）、C（4，-5）三點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）∵A（2，3），B（0，3），
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y＞3；

（3）分別作AB于BC的中垂線，交點(diǎn)為M，點(diǎn)M即為圓心；
連接MB、MC，設(shè)M（1，y_M），
∵M(jìn)B²=1+（3-y_M）²，MC²=（y_M+5）²+9，
∴1+（3-y_M）²=（y_M+5）²+9，
∴y_M=-，
∴△ABC的外接圓的圓心的坐標(biāo)為M（1，-）．
點(diǎn)評：此題主要考查的是二次函數(shù)解析式的確定以及三角形外心坐標(biāo)的求法．