Question

7．如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，A恰好與BD上的點F重合，展開后，折痕DE分別交AB，AC于點E、G，連接GF，有下列結(jié)論：①∠AGD=112.5°；②AD=2AE；③S_△AGD=S_△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正確結(jié)論的序號是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①④⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 ①根據(jù)正方形性質(zhì)和折疊性質(zhì)得出∠GAD和∠ADG，即可求解；
②根據(jù)直角三角形的直角邊小于斜邊，即可得出結(jié)論；
③根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出三角形的高相等，再分析底邊長即可；
④證明四條邊相等即可；
⑤由折疊的性質(zhì)設(shè)BF=EF=AE=1，進一步表示AB，BD，DF的長度，結(jié)合相似三角形進行求解即可．

解答 解：因為在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，
所以∠GAD=45°，∠ADG=$\frac{1}{2}∠ADO=22.5°$，
可求，∠AGD=112.5°，所以①正確．
因為tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$，
因為AE=EF＜BE，
所以AE＜$\frac{1}{2}$AB，
因為AD=AB，因此②錯．
因為AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
所以S_△AGD＞S_△OGD，所以③錯．
根據(jù)題意可得：AE=EF，AG=FG，又因為EF∥AC，
所以∠FEG=∠AGE，又因為∠AEG=∠FEG，
所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，
所以四邊形AEFG是菱形，因此④正確．
由折疊的性質(zhì)設(shè)BF=EF=AE=1，則AB=1+$\sqrt{2}$，BD=2+$\sqrt{2}$，DF=1+$\sqrt{2}$，
由此可求，
$\frac{OG}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因為EF∥AC，
所以△DOG∽△DFE，
所以$\frac{OG}{EF}=\frac{DO}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$EF=2OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
所以△BEF是等腰直角三角形，同理可證△OFG是等腰直角三角形，
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
所以BE=2OG．因此⑤正確．
故答案為：C．

點評 此題主要考查四邊形綜合問題，熟悉正方形性質(zhì)和菱形的判定，會用勾股定理進行線段求值，會根據(jù)平行論證相似是解題的關(guān)鍵．