【題目】在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).
(1)如圖1,E為線段DC上任意一點(diǎn),將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連接CF,過點(diǎn)F作FH⊥FC,交直線AB于點(diǎn)H.判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明;
(2)如圖2,若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn),(1)中的其他條件不變,你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變,直接寫出你的結(jié)論,不必證明.
【答案】
(1)解:FH與FC的數(shù)量關(guān)系是:FH=FC.
證明如下:延長DF交AB于點(diǎn)G,
由題意,知∠EDF=∠ACB=90°,DE=DF,
∴DG∥CB,
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),
∴點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),且 ,
∴DG為△ABC的中位線,
∴ .
∵AC=BC,
∴DC=DG,
∴DC﹣DE=DG﹣DF,
即EC=FG.
∵∠EDF=90°,F(xiàn)H⊥FC,
∴∠1+∠CFD=90°,∠2+∠CFD=90°,
∴∠1=∠2.
∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形,
∴∠DEF=∠DGA=45°,
∴∠CEF=∠FGH=135°,
∴△CEF≌△FGH,
∴CF=FH
(2)解:FH與FC仍然相等.
理由:由題意可得出:DF=DE,
∴∠DFE=∠DEF=45°,
∵AC=BC,
∴∠A=∠CBA=45°,
∵DF∥BC,
∴∠CBA=∠FGB=45°,
∴∠FGH=∠CEF=45°,
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),DF∥BC,
∴DG= BC,DC= AC,
∴DG=DC,
∴EC=GF,
∵∠DFC=∠FCB,
∴∠GFH=∠FCE,
在△FCE和△HFG中
,
∴△FCE≌△HFG(ASA),
∴HF=FC
【解析】(1)延長DF交AB于點(diǎn)G,根據(jù)三角形中位線的判定得出點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),根據(jù)中位線的性質(zhì)及已知條件AC=BC,得出DC=DG,從而EC=FG,易證∠1=∠2=90°﹣∠DFC,∠CEF=∠FGH=135°,由AAS證出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.(2)通過證明△CEF≌△FGH(ASA)得出.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在正方形ABCD中,E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在AD的延長線上運(yùn)動(dòng),且DF=BE.
(1)求證:CE=CF.
(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),在AD上取一點(diǎn)G,使∠GCE=45°,試判斷BE、EG、GD三條線段的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
(3)若連接圖①中的BD,分別交CE、CG于點(diǎn)M、N,得圖②,試根據(jù)(2)中的結(jié)論說明以線段BM、MN、DN為三邊構(gòu)成的是一個(gè)什么形狀的三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某區(qū)招聘音樂教師采用筆試、專業(yè)技能測試、說課三種形式進(jìn)行選拔,這三項(xiàng)的成績滿分均為100分,并按2:3:5的比例計(jì)算總分,最后,按照成績的排序從高到低依次錄取.該區(qū)要招聘2名音樂教師,通過筆試、專業(yè)技能測試篩選出前6名選手進(jìn)入說課環(huán)節(jié),這6名選手的各項(xiàng)成績見表:
序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
筆試成績 | 66 | 90 | 86 | 64 | 66 | 84 |
專業(yè)技能測試成績 | 95 | 92 | 93 | 80 | 88 | 92 |
說課成績 | 85 | 78 | 86 | 88 | 94 | 85 |
(1)筆試成績的平均數(shù)是 ;
(2)寫出說課成績的中位數(shù)為 ,眾數(shù)為 ;
(3)已知序號(hào)為1,2,3,4號(hào)選手的總分成績分別為84.2分,84.6分,88.1分,80.8分,請(qǐng)你通過計(jì)算判斷哪兩位選手將被錄用?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知銳角△ABC中,AB、AC邊的中垂線交于點(diǎn)O
(1)若∠A=α(0°<α<90°),求∠BOC;
(2)試判斷∠ABO+∠ACB是否為定值;若是,求出定值,若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)x、y滿足關(guān)系式 +|y2﹣9|=0.
(1)求x、y的值;
(2)判斷 是無理數(shù)還是無理數(shù)?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道,三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.那么,三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?
(1)如圖1,∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角,試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?
(2)如圖2,在△ABC紙片中剪去△CED,得到四邊形ABDE,若∠1+∠2=230°,則剪掉的∠C=;
(3)小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問題:如圖3,在△ABC中,BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB,∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出答案 .
(4)如圖4,在四邊形ABCD中,BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB,∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系?為什么?(若需要利用上面的結(jié)論說明,可直接使用,不需說明理由)
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